수택동고1수학과외: 표를 행렬의 합과 곱으로 구분하는 풀이
수택고등학교나 구리고등학교의 학교 자료를 정리할 때처럼 표 형태의 숫자가 나오면, 숫자를 바로 계산하기 전에 두 표가 어떤 연산으로 연결되는지 확인해야 한다. 수택동 생활권에서 학교 프린트와 문제집을 번갈아 푸는 학생에게는 표의 모양만 보고 계산을 시작하지 않는 습관이 특히 필요하다.
계산보다 먼저 표시해야 할 해석
다음 두 행렬을 보자.
A = [[2, 1], [3, 4]], B = [[5, 2], [1, 3]]
두 행렬의 합을 묻는다면 같은 위치의 원소끼리 더한다.
A + B = [[2+5, 1+2], [3+1, 4+3]] = [[7, 3], [4, 7]]
반면 행렬의 곱 AB는 같은 위치의 원소를 더하는 방식이 아니다. 첫째 행과 첫째 열의 곱을 더해 왼쪽 위 원소를 구한다.
AB = [[2×5+1×1, 2×2+1×3], [3×5+4×1, 3×2+4×3]] = [[11, 7], [19, 18]]
조건이 붙었는데도 그대로 이어 쓴 오답
학생의 답안에는 표의 숫자를 옮긴 뒤 곧바로 다음 계산이 적혀 있었다.
“두 표를 결합한다.”
[[2+5, 1+2], [3+1, 4+3]] = [[7, 3], [4, 7]]
이 계산 자체는 A+B를 구할 때는 맞지만, 문제에서 “첫 번째 표의 행과 두 번째 표의 열을 이용해 새로운 표를 만든다”라고 했다면 요구한 연산은 AB이다. 학생은 조건이 추가된 뒤에도 기존의 덧셈 줄을 그대로 유지했고, 행과 열을 곱해 더해야 한다는 해석을 답안에 남기지 않았다.
빠진 줄을 찾아 풀이를 다시 시작하기
오답을 고칠 때 계산 결과부터 지우지 않고, 해석이 빠진 지점에 표시를 한다.
[해석 확인] 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열을 대응시키므로 행렬의 곱 AB를 계산한다.
이제 각 원소를 위치별로 다시 쓴다.
- (1,1): 2×5+1×1 = 11
- (1,2): 2×2+1×3 = 7
- (2,1): 3×5+4×1 = 19
- (2,2): 3×2+4×3 = 18
따라서 AB = [[11, 7], [19, 18]]이다. 행렬의 덧셈은 두 행렬의 크기가 같아야 하지만, 곱셈은 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 한다는 조건도 함께 적는다. 이 문제에서는 두 행렬이 모두 2×2이므로 두 연산이 모두 가능하지만, 문제의 문장이 정한 연산은 곱셈이다.
표의 의미와 수식을 함께 남기는 연습
학교 자료와 다른 형식의 문제에서는 숫자 배열만 주어지지 않고, “A는 지점별 판매량, B는 상품별 단가를 나타낸다”처럼 표의 의미가 설명될 수 있다. 이때는 행렬의 크기와 행·열의 의미를 먼저 적는다.
예를 들어 A가 2개 지점의 3개 상품 수량을 나타내는 2×3 행렬이고, B가 3개 상품의 단가를 나타내는 3×1 행렬이라면 AB는 2×1 행렬이 된다. 2×3과 3×1은 안쪽 수가 같으므로 곱할 수 있고, 결과의 각 원소는 한 지점의 상품별 수량과 단가를 곱해 더한 총액이다. 이처럼 표의 의미와 행렬의 크기를 적으면 합인지 곱인지 판단한 근거가 남는다.
수택동 주간 학습에서 확인할 기록 방식
수택주공뜨란채나 남양아파트 생활권에서 귀가 후 학교 프린트를 정리하는 시간이 짧다면, 모든 계산을 길게 쓰기보다 각 문항의 첫 줄에 연산 판단을 남기는 방식이 효율적이다.
- 같은 크기의 표에서 위치별 값을 합치면 A+B
- 행과 열을 대응해 곱한 뒤 더하면 AB
- 곱셈 가능 여부는 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수로 판단
수택동 소재 학교와 같은 구리시의 갈매고등학교, 인창고등학교, 토평고등학교는 참고 학교일 뿐 동일한 학교 운영을 의미하지 않으므로, 실제 학습 기록은 학생이 받은 학교 자료와 문제집 문항의 형식 차이를 기준으로 점검한다.
숫자와 형식이 바뀐 문항에서의 확인
문제집에서 다음과 같이 새로운 행렬을 제시했다고 하자.
C = [[1, 2, 0], [3, 1, 4]], D = [[2], [5], [1]]
문항이 “각 행의 자료와 단가를 이용해 총합을 구하라”고 하면 C와 D를 곱해야 한다. 학생이 풀이 첫 줄에 “C는 2×3, D는 3×1이므로 CD 가능, 행과 열의 대응 곱의 합”이라고 적었는지 확인한다.
계산은 다음과 같다.
CD = [[1×2+2×5+0×1], [3×2+1×5+4×1]] = [[12], [15]]
마지막에는 “두 행의 총합은 각각 12, 15이다”라고 결론을 쓴다. 새로운 숫자와 학교 자료와 다른 서술 형식에서도 해석 표시, 행렬 크기 확인, 대응 계산, 결론 작성의 순서가 유지될 때 표를 행렬의 합과 곱으로 구분하는 능력을 독립적으로 적용한 것으로 볼 수 있다.