교문동고2수학과외에서 해의 개수를 그래프 교점으로 점검하는 삼각방정식 풀이
서울삼육고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 삼각방정식은 공식을 많이 적는 것보다 그래프의 교점과 해의 범위를 끝까지 확인하는 풀이가 필요하다. 갈매고·인창고·토평고·수택고등학교는 같은 구리시의 참고 학교일 뿐, 교문동 소재 학교로 보아서는 안 된다.
sin x와 x/2의 교점을 주기처럼 세면 생기는 오류
라디안 단위에서 다음 방정식의 해를 구한다고 하자.
sin x = x/2, 0≤x≤2π
양변을 그래프로 보면 왼쪽은 y=sin x, 오른쪽은 y=x/2이다. 학생의 첫 풀이에는 “사인 그래프가 한 주기 끝에서 다시 시작하므로 교점도 반복된다”는 식의 판단이 들어갔다. 그래서 x=0과 x≈1.895를 찾은 뒤, 2π 부근에도 같은 교점이 있다고 세었다.
그러나 x=2π에서는 sin x=0이고 x/2=π이므로 두 그래프는 만나지 않는다. 사인 그래프는 주기함수지만 직선 y=x/2는 주기함수가 아니다. 따라서 사인의 한 주기가 반복된다는 사실만으로 교점이 반복된다고 판단할 수 없다.
또한 sin x≤1이므로 해가 있다면 x/2≤1, 즉 x≤2이다. 주어진 구간에서 실제로 확인할 범위는 0≤x≤2뿐이다. 이 구간에서 x=0은 해이고, 0<x≤2에서는 sin x와 x/2의 교점이 하나 더 생겨 x≈1.895이다. 따라서 해의 개수는 2개이다.
정답을 지우기 전에 교점 판단의 원인을 한 문장으로 남기기
오답을 발견하면 전체 풀이를 지우지 않고 먼저 다음처럼 적는다.
“sin x의 주기가 반복되어도 x/2는 반복되지 않으므로, 주기 끝에 교점을 추가할 수 없다.”
그다음 교점 후보를 원래 식에 대입한다.
- x=0: sin 0=0, 0/2=0이므로 해
- x=2π: sin 2π=0, (2π)/2=π이므로 해가 아님
그래프를 그린 뒤에는 반드시 “교점의 좌표가 원래 두 식의 값을 동시에 만족하는가”를 확인해야 한다. 해 개수를 묻는 문제에서는 찾은 해의 개수뿐 아니라, 구간의 양 끝과 반복된다고 착각한 점까지 대입하는 과정이 필요하다.
표기와 계수를 바꾼 뒤에도 교점 수를 유지하는지 확인
다음 문제를 별도로 풀어 본다.
sin θ = θ/3, -π≤θ≤π
θ도 라디안으로 보고, sin θ≤1에서 θ≤3이라는 조건을 먼저 확인한다. 주어진 구간에서는 양의 부분과 음의 부분이 대칭이므로 θ=0 외에 양쪽에 각각 한 교점이 생긴다. 실제 해는 대략 θ≈±2.279이며, 해의 개수는 3개이다.
이때도 θ=−π와 θ=π를 단지 사인 그래프의 주기 끝이라는 이유로 중복 처리하지 않는다. 각각 원래 식에 대입해 sin(±π)=0과 (±π)/3이 다름을 확인해야 한다. 계수와 문자 표기가 바뀌어도 그래프의 두 식이 함께 반복되는지, 실제 구간 안에 교점이 몇 개인지를 따져야 풀이가 유지된다.