교문동고1수학과외, 행과 열의 의미부터 정하는 행렬 읽기
서울삼육고등학교의 학교 프린트와 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 짧은 시간에 여러 자료를 정리해야 한다. 이때 행렬을 계산식으로만 보면 행과 열의 의미가 뒤바뀌기 쉽다. 교문동고1수학과외 학습에서는 먼저 표의 방향을 문장으로 정의한 뒤 크기와 연산 가능 여부를 확인하는 방식으로 접근한다.
표를 식으로 옮기기 전에 붙이는 두 문장
예를 들어 월요일부터 수요일까지 국어, 수학, 영어 학습 시간을 나타내는 행렬을
A = [
2 3 1
1 2 2
3 1 2
]
로 두었다면, 먼저 “행은 요일, 열은 과목이며 각 원소는 해당 요일의 과목별 학습 시간”이라고 적어야 한다. 따라서 A의 크기는 3×3이고, a23 = 2는 화요일 영어 학습 시간이 2시간이라는 뜻이다. 숫자 배열만 보고 계산하면 a23을 수요일 국어 시간으로 잘못 해석할 수 있다.
크기를 쓰지 않은 채 시작된 곱셈
교문동의 한 학생은 학교 프린트에서 다음 두 행렬을 보고 크기를 적지 않은 채 “두 행렬은 곱할 수 없다”고 판단했다.
B = [
1 2 0
3 1 4
],
C = [
2 1
0 3
1 2
]
학생은 B를 3×2, C를 2×3으로 읽어 행과 열을 바꾸었다. 그러나 실제로 B는 2×3, C는 3×2이다. 곱셈 BC는 B의 열 수 3과 C의 행 수 3이 같으므로 가능하며 결과는 2×2 행렬이다.
BC = [
1×2+2×0+0×1 1×1+2×3+0×2
3×2+1×0+4×1 3×1+1×3+4×2
]
= [
2 7
10 14
]
반대로 CB는 C의 열 수 2와 B의 행 수 2가 같으므로 가능하지만 결과는 3×3이다. 두 곱이 모두 가능하더라도 BC와 CB의 값과 크기는 일반적으로 다르므로 순서를 바꾸어 같은 결과라고 처리해서는 안 된다.
답안에 남겨야 하는 판단의 순서
- 행렬 A의 크기를 “행 수×열 수”로 적는다.
- 행과 열이 각각 무엇을 뜻하는지 문장으로 정의한다.
- 곱셈 XY에서는 X의 열 수와 Y의 행 수를 비교한다.
- 계산 후 결과 행렬의 크기가 X의 행 수×Y의 열 수인지 확인한다.
예를 들어 B는 “2행 3열”, C는 “3행 2열”이라고 답안 첫 줄에 표시한다. 그 뒤 “B의 열 3과 C의 행 3이 같으므로 BC가 가능하다”고 근거를 남기면, 단순히 계산 결과만 적는 것보다 행렬의 구조를 제대로 읽었는지 확인할 수 있다.
귀가 시간이 짧은 날에도 판단만 따로 점검하기
학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹친 날에는 행렬 곱 전체를 반복하기보다, 학습 종류를 조정해 크기와 의미를 먼저 쓰는 짧은 훈련을 배치할 수 있다. 피곤한 날에는 새로운 계산량을 늘리지 않고 “이 행은 무엇인가, 이 열은 무엇인가, 두 행렬의 크기는 얼마인가”를 소리 내어 확인하게 한다. 일주일 뒤에는 위 오답을 다시 제시해 크기를 먼저 적는지, 행과 열을 바꾸지 않는지 살핀다.
표의 관계를 식과 그래프로 옮기는 확인 문제
행과 열의 의미를 정의하는 습관이 다른 자료에서도 유지되는지 확인하기 위해 다음 표를 제시한다. 한 상품의 가격이 2배, 3배, 5배가 될 때 같은 단가로 계산한 총액이 각각 6, 9, 15라면 가격을 x, 총액을 y로 둘 때 y = 3x이다. 원점을 지나고 비율 y/x가 일정하므로 정비례이다.
반면 일정한 거리를 이동할 때 속력 v와 걸린 시간 t의 관계는 거리 12를 기준으로 t = 12/v이다. 속력이 2, 3, 4일 때 시간은 6, 4, 3이므로 vt = 12가 일정하고 반비례 관계다.
이 변형 문제에서는 표의 가로·세로 항목을 먼저 정의한 뒤 식을 세우고, 그래프가 정비례인지 반비례인지 스스로 결정하게 한다. 행렬에서 크기와 방향을 먼저 확인했던 행동이 표와 그래프에서도 이어지는지가 최종 점검 기준이다.