교문동 고3수학과외에서 중복조합의 첫 불일치 찾기
교문동에서 서울삼육고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 기록하던 학생은 중복조합 오답을 다시 풀 때 계산 결과만 확인하는 습관이 있었다. 같은 구리시의 갈매고등학교, 인창고등학교, 토평고등학교, 수택고등학교는 참고 학교로 구분해 두고, 학교별 일정에 맞춰 짧은 오답 점검 시간을 배분했다.
별과 막대에서 처음 어긋난 줄
다음 조건을 풀었다.
서로 다른 4종류의 간식을 각각 1개 이상 선택하여 모두 9개를 고르는 방법의 수를 구하여라.
간식의 개수를 각각 \(x_1,x_2,x_3,x_4\)라 하면
\(x_1+x_2+x_3+x_4=9,\quad x_i\geq1\)
학생은 먼저 \(x_i\geq1\)을 확인했지만, 중간식에서 막대 수를 잘못 잡았다.
학생의 오답: \(y_i=x_i-1\)로 두면 \(y_1+y_2+y_3+y_4=5\)이므로 별 5개와 막대 4개를 배열하여 \(\binom{9}{4}=126\).
이 식은 틀렸다. 별 5개는 네 변수 \(y_1,y_2,y_3,y_4\)에 배분되므로 영역을 나누는 막대는 변수 사이에 필요한 3개이다. 따라서 배열 전체는 \(5+3=8\)개이고, 정확한 값은
\(\binom{8}{3}=\binom{8}{5}=56\)
이다. 학생은 별과 막대 그림에서는 막대 3개를 그려 놓고, 표의 열 수를 4개로 세면서 식에서 막대 4개를 사용했다. 이처럼 그래프·표·식 중 서로 맞지 않는 첫 표현이 바로 수정할 지점이다.
오답 줄부터 역계산하기
- 틀린 줄 표시: \(5+4=9,\ \binom{9}{4}\)에 밑줄을 긋는다.
- 조건과 변수 관계 확인: \(y_i=x_i-1\)이므로 음이 아닌 변수는 4개이고, 변수 4개를 나누는 막대는 \(4-1=3\)개이다.
- 식 수정: \(y_1+y_2+y_3+y_4=5\)에 맞춰 \(5\)개의 별과 \(3\)개의 막대를 배열하여 \(\binom{8}{3}=56\)으로 고친다.
- 역계산 검산: 양의 정수해 \(x_i\)에서 각 변수의 최소값 1을 먼저 빼면 남는 수는 \(9-4=5\)이다. 다시 각 변수에 1씩 더하면 총합은 \(5+4=9\)가 된다.
이 과정을 거치면 ‘중복이 허용되는가’와 ‘각 종류를 반드시 고르는가’를 분리해서 판단할 수 있다. 중복 허용만으로는 충분하지 않으며, \(x_i\geq1\)이라는 조건 때문에 먼저 최소값을 제거해야 한다.
조건을 바꾼 새 문제로 확인
서로 다른 5종류의 음료에서 각 종류를 0개 이상 선택하여 모두 7개를 고르는 방법의 수를 구하여라.
이번에는 \(x_i\geq0\)이므로 최소값을 뺄 필요가 없다.
\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7\)
별 7개와 막대 \(5-1=4\)개를 배열하므로
\(\binom{7+4}{4}=\binom{11}{4}=330\)
이다. 첫 문제와 달리 각 종류를 반드시 1개 이상 선택한다는 조건이 없으므로, 막대 수는 4개이고 별의 수는 그대로 7개다. 학생은 답 \(330\)만 적지 않고, 변수 개수와 막대 수, 최소값 제거 여부를 표로 대조한 뒤 \(7+4=11\)인지 역으로 확인하며 검산했다.