갈매동고2수학과외: 삼각방정식의 교점 수를 세기 전 각의 범위 확인
갈매고등학교 과제와 시험 준비를 병행할 때 삼각함수 문제는 계산보다 먼저 그래프를 그릴 구간을 고정해야 한다. 갈매1단지나 갈매6단지에서 귀가한 뒤 풀이 흔적을 확인해 보면, 각의 범위를 여백에 적지 않은 상태에서 그래프의 반복 모양만 보고 해의 개수를 세는 경우가 있다. 같은 구리시의 인창고등학교·토평고등학교·수택고등학교 등은 참고 학교일 뿐 갈매동 소재 학교와는 구분해야 하며, 학교가 달라도 이 판단 절차는 동일하다.
sin x=x/2에서 교점의 위치를 먼저 제한하기
예를 들어 0≤x≤2π에서
sin x = x/2
의 해 개수를 묻는다고 하자. 이 문제에서 그래프는 y=sin x와 y=x/2의 교점이다. 직선의 오른쪽 값이 1보다 커지면 사인값과 같아질 수 없으므로
x/2≤1 이고, 따라서 0≤x≤2만 조사하면 된다.
x=0에서는 두 함수값이 모두 0이므로 한 교점이 있다. 또 0<x<2에서는 사인 그래프가 직선보다 위에 있다가 다시 아래로 내려가므로 양의 교점이 하나 더 생긴다. 실제로 x=1에서는 sin 1≈0.841>0.5, x=2에서는 sin 2≈0.909<1이므로 정확한 위치는 수치적으로 약 x≈1.895이다. 따라서 해는 두 개다.
주기 끝의 그림을 해로 중복 기록한 풀이
풀이 여백에 각의 범위를 쓰지 않은 상태에서 학생이 교점 표시를 한 주기 끝까지 반복한 뒤, x=0에서 찾은 교점을 x=2π에서도 다시 센 흔적이 남았다. 그러나 x=2π를 원래 식에 대입하면
sin 2π=0, (2π)/2=π
이므로 등식이 성립하지 않는다. 주기적인 그래프의 모양이 반복된다고 해서 모든 주기 끝점이 교점이 되는 것은 아니다. 해의 개수는 그림의 반복 횟수가 아니라 주어진 구간 안에서 두 식을 동시에 만족하는 x값의 개수로 판단한다.
오류가 생긴 줄에서 범위와 대입을 이어 쓰기
처음부터 풀이를 다시 베끼기보다 교점을 중복해 센 줄 바로 아래에 다음 세 줄을 덧붙인다.
범위: 0≤x≤2π
x=0: sin 0=0, 0/2=0
x=2π: sin 2π=0, (2π)/2=π → 불일치
그다음 sin x=x/2에서 0≤x≤2로 범위를 줄이고, 그래프의 교점 표시와 실제 대입 결과가 일치하는지 확인한다. 이 과정을 거치면 주기의 끝을 자동으로 해로 세지 않고, 제한된 구간 안의 교점만 남길 수 있다.
분수와 정수가 섞인 조건에서도 같은 기준 적용하기
이제 0≤x≤4에서
sin x = 3x/4 - 1/2
의 해 개수를 판단해 보자. 먼저 사인값의 범위가 [-1,1]이므로 직선값도 그 범위 안에 있어야 한다.
-1≤3x/4-1/2≤1
에서 0≤x≤2가 얻어진다. 이후 그래프에서 표시한 후보마다 원래 식에 대입하고, 구간 끝 x=0, 4를 모양만 보고 추가하지 않는다. 특히 x=4에서는 직선값이 5/2이므로 사인값과 같을 수 없다. 새 수치에서도 먼저 각의 범위를 적고, 범위 축소와 원식 대입을 모두 남겼다면 교점 개수 판단이 유지된 것으로 확인한다.