갈매동 고3 수학과외에서 확인한 중복조합의 기준
갈매동에서 귀가 후 과제를 정리하던 고3 학생은 중복조합 문제를 풀 때 계산 속도보다 먼저 선택 조건을 구분하는 연습이 필요했다. 갈매고등학교를 비롯해 구리시 내 학교를 준비하는 학생도 시험 전에는 과제량과 풀이 순서를 함께 점검해야 한다.
상자와 공을 바꾸어 센 오답
문제는 다음과 같았다.
x1+x2+x3=5를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하여라.
학생은 변수 세 개에 공 5개를 배치하는 상황을 보고 다음과 같이 적었다.
오답: _5C_3=10
이 식은 5개 중 3개를 고르는 일반 조합처럼 계산한 것으로, 세 변수에 공을 나누어 담는 경우를 모두 표현하지 못한다. 특히 각 변수에 들어가는 개수는 0도 가능하므로, 공 5개와 칸막이 2개를 배열해야 한다.
변수의 범위를 먼저 고친 풀이
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 x1, x2, x3≥0이라는 조건을 다시 확인했다. 공 5개와 칸막이 2개를 일렬로 배열하면 전체 기호는 7개이고, 칸막이의 위치를 고르는 방법은
_7C_2=21
이다. 따라서 음이 아닌 정수해의 개수는 21개이다. 예를 들어 x1=0, x2=0, x3=5도 포함되므로 0을 허용하지 않는 일반 조합으로 세면 안 된다.
마지막으로 x1을 0부터 5까지 고정해 직접 확인했다. 각 x1에 대해 남은 두 변수의 해 개수는 각각 6, 5, 4, 3, 2, 1개이므로 6+5+4+3+2+1=21로 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제는 숫자와 조건을 바꾸어 제시했다.
x1+x2+x3=7이고 모든 변수가 양의 정수일 때 해의 개수를 구하여라.
양의 정수이므로 yi=xi-1로 두면
y1+y2+y3=4, yi≥0
가 된다. 따라서 해의 개수는
_6C_2=15
이다. 원래 식에 최소 1씩 되돌리면 x1+x2+x3=4+3=7이므로 조건 변환과 답을 함께 검산할 수 있다.