갈매동고1수학과외, 행렬 반복곱에서 패턴을 식으로 읽기
갈매고등학교 과제를 귀가 후 짧은 시간에 처리할 때는 행렬의 곱셈을 여러 번 계산하는 것보다 반복되는 구조를 먼저 표시하는 과정이 필요하다. 갈매1단지나 갈매6단지 등 생활권에서 이동한 뒤 바로 문제를 풀더라도, 특정 형태의 행렬은 한 줄씩 계산하기 전에 거듭제곱의 규칙을 찾아야 한다.
계산을 이어 가기 전에 나타나는 모양
다음 행렬을 생각해 보자.
A = [[1, 2], [0, 1]]
직접 곱하면
A2 = [[1, 4], [0, 1]],
A3 = [[1, 6], [0, 1]],
A4 = [[1, 8], [0, 1]]
오른쪽 위 원소가 2, 4, 6, 8로 변하고 나머지 위치는 그대로다. 따라서 반복곱의 형태는
An = [[1, 2n], [0, 1]]
으로 예상할 수 있다. 실제로 이 행렬을 [[1, 2n], [0, 1]]과 곱하면
[[1, 2n], [0, 1]][[1, 2], [0, 1]] = [[1, 2n+2], [0, 1]]
이므로 다음 지수에서도 같은 형태가 유지된다.
답안에서 빠진 것은 계산 줄이 아니라 관찰 줄이다
수업 자료에서 학생은 반복곱 문제의 식을 받은 뒤 ‘특정 형태 행렬의 반복곱에서 패턴 찾기’라고 표시하지 않고 바로 다음 계산 줄로 넘어갔다. 예를 들어 A6을 구하면서 A를 다섯 번 연속 곱하는 방식으로만 진행했다. 이 답안에는 계산 결과가 일부 맞더라도, 왜 오른쪽 위 원소만 일정한 간격으로 변하는지 확인한 흔적이 없다.
이 상태는 행렬의 곱셈 규칙을 전혀 모르는 것과는 다르다. 개별 곱셈은 수행하지만, 같은 행렬이 반복될 때 원소 사이의 관계를 식으로 바꾸는 단계가 빠진 상태다. 그래서 지수가 커지거나 문제의 질문이 바뀌면 계산량에 의존하게 된다.
빠진 위치에서 풀이를 다시 연결하기
오답을 고칠 때는 마지막 결과만 지우지 않고, 패턴 표시가 빠진 줄을 먼저 표시한다. 그 줄에 다음처럼 기록한다.
A1 = [[1, 2], [0, 1]],
A2 = [[1, 4], [0, 1]],
A3 = [[1, 6], [0, 1]]
그다음 각 위치를 비교해 왼쪽 위와 오른쪽 아래는 1로 고정되고, 왼쪽 아래는 0으로 고정되며, 오른쪽 위만 지수에 따라 2n이 된다는 관계를 문장이나 식으로 적는다. 그러면 A7은 반복 계산 없이
A7 = [[1, 14], [0, 1]]
로 정리할 수 있다. 이후에는 결과를 외우는 대신, 한 번 더 곱했을 때 오른쪽 위 원소가 14에서 16으로 바뀌는지 확인한다.
숫자가 아니라 조건을 확인하는 검산
검산을 같은 곱셈의 반복으로 끝내지 않도록 An의 형태가 문제의 조건을 만족하는지 확인한다. 이 행렬의 모든 거듭제곱은 대각 원소가 1이고 왼쪽 아래 원소가 0이어야 한다. 또한 오른쪽 위 원소는 행렬 A의 오른쪽 위 원소인 2에 지수 n을 곱한 값이어야 한다.
따라서 A7 = [[1, 14], [0, 1]]에서는 대각 원소, 왼쪽 아래 원소, 오른쪽 위 원소의 세 조건이 모두 맞는다. 이 방식은 계산 횟수를 세는 검산이 아니라 반복곱의 구조가 유지되는지를 판단하는 검산이다.
표현이 바뀐 문제에서 다시 확인하기
수행평가 자료가 지필형 문제로 바뀌어 다음과 같이 제시되었다고 하자.
B = [[1, -3], [0, 1]]일 때 B5를 구하여라.
이때 필요한 기초 계산은 음수의 곱과 덧셈이다. 먼저 작은 지수에서
B2 = [[1, -6], [0, 1]],
B3 = [[1, -9], [0, 1]]
을 확인하면 오른쪽 위 원소가 -3n이라는 패턴을 세울 수 있다. 따라서
B5 = [[1, -15], [0, 1]]
이다. 이때 학생이 부호를 유지하면서 고정되는 위치와 변하는 위치를 먼저 표시하고, 조건에 맞는 형태를 스스로 세웠다면 반복곱의 패턴 찾기가 새로운 문제에도 적용된 것으로 본다.