온수동고2수학과외

온수동고2수학과외: 밑변환공식에서 분자와 분모를 구별하는 풀이

“log₂7 = log₇2”라고 적힌 답안은 밑변환 과정에서 처음 기호가 뒤집힌 사례다. 온수동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 맞추어 공부할 때도, 이런 변형 문제는 공식 암기보다 식의 방향을 확인하는 과정이 먼저 필요하다. 온수동 소재 고등학교가 확인되지 않는 만큼 구로구 내 경인고등학교·구로고등학교·우신고등학교·신도림고등학교 등의 통학권 자료를 참고하더라도, 실제 학습에서는 학교 프린트의 표현이 달라졌을 때 같은 판단을 재현하는지가 중요하다.

log₂7과 log₇2는 서로 역수다

밑변환공식은 밑과 진수를 모두 같은 기준으로 바꾸어

log_ab = ln b / ln a

로 나타내는 관계다. 따라서

log₂7 = ln 7 / ln 2

이고, 반대로

log₇2 = ln 2 / ln 7

이다. 두 값은 같지 않고 곱이 1인 역수 관계다. 실제로 2^log₂7 = 7이지만, 2^log₇2는 일반적으로 7이 되지 않는다.

계수가 붙은 변형식에서 방향을 보존하기

예를 들어 다음 식을 자연로그로 바꾸어 보자.

3log₂7 - 2log₂5

밑변환을 적용하면

3 · ln 7 / ln 2 - 2 · ln 5 / ln 2

이므로

(3ln 7 - 2ln 5) / ln 2

가 된다. 답안에서 log₂7을 log₇2로 바꾸면 분자와 분모가 동시에 바뀌어 전체 값이 달라진다. 계수의 부호를 먼저 계산하는 문제가 아니라, 각 로그의 밑이 분모에 놓인다는 점을 식으로 남겨야 한다.

어긋난 기호 바로 아래에 중간식을 남기기

풀이할 때 밑을 바꾸기 전 원래 로그에 표시를 하고, 그 아래에 다음 한 줄을 작성한다.

log₂7 → ln 7 / ln 2

그 뒤 계수와 부호를 붙인다.

3log₂7 - 2log₂5
= 3(ln 7 / ln 2) - 2(ln 5 / ln 2)

이처럼 처음 어긋난 기호에 표시하고 올바른 중간식을 바로 아래에 쓰면, log₂7과 log₇2를 시각적으로 혼동했는지 답안에서 확인할 수 있다.

계수가 바뀐 식으로 방향을 다시 확인하기

다음 식에서는 별도의 표시 없이 밑변환 과정을 적는다.

-2log₃5 + 4log₃7

정확한 변환은

-2 · ln 5 / ln 3 + 4 · ln 7 / ln 3
= (4ln 7 - 2ln 5) / ln 3

이다. 여기서 ln 3이 분모에 남고, 계수와 부호는 각각의 진수에 그대로 붙어야 한다. 새로운 계수와 진수가 주어진 상황에서도 이 중간식을 스스로 작성했다면, 밑변환공식의 방향과 로그법칙을 함께 적용한 것이다.