온수동고3수학과외

온수동 고3 수학과외: 합성된 지수함수의 미분과 해의 존재 판별

온수동에서는 구로구 내 경인고등학교, 구로고등학교, 우신고등학교, 신도림고등학교 등의 통학권을 고려해 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 반영한 학습 계획이 필요하다. 이 사례의 학생은 지수함수의 합성함수 미분 문제에서 계산 자체보다 안쪽 함수와 해의 범위를 연결하는 데 어려움을 보였다.

안쪽 함수가 빠진 오답

다음 함수의 구간 [0,1]에서 접선의 기울기가 1이 되는 점이 있는지 판단해 보자.

y=2^3x-1

학생은 다음과 같이 작성했다.

y'=ln2·2^3x-1

ln2·2^3x-1=1

이 식은 오답이다. 바깥 함수 2^u를 미분한 뒤 안쪽 함수 u=3x-1의 도함수 u'=3을 곱해야 한다. 따라서 정확한 미분식은

y'=3ln2·2^3x-1

이다. 합성함수에서는 밑의 지수 부분만 확인하는 것이 아니라, 그 지수 부분이 x에 대해 어떻게 변하는지까지 반영해야 한다.

구간 조건까지 확인한 결과

기울기가 1이라는 조건을 정확히 세우면

3ln2·2^3x-1=1

이고, 양변의 로그를 취하면

(3x-1)ln2=−ln(3ln2)

이므로 후보는

x={1−ln(3ln2)/ln2}/3

이다. 그러나 ln2≈0.693이므로 3ln2≈2.079, 따라서

x≈0.185

가 되어 이 경우에는 [0,1] 안에 해가 존재한다. 실제 대입에서도

3ln2·2^3(0.185)−1≈1

이므로 계산이 맞는지 확인할 수 있다.

반대로 조건을 3ln2·2^3x-1=1, x∈[1,2]로 바꾸면 해가 없다. 함수의 도함수는 양수이고

y'(1)=3ln2·2²≈8.318>1

이므로 [1,2] 전체에서 기울기가 1이 될 수 없다. 후보값을 구한 뒤 범위에 다시 대입해야 ‘해가 없음’을 정확히 판별할 수 있다.

학생이 수정한 검산 절차

• 틀린 줄 표시: y'=ln2·2^3x-1에 별표를 표시한다.
• 관계 확인: 바깥 함수의 밑은 2이고 안쪽 함수는 3x-1이므로 안쪽 미분값 3을 곱한다.
• 식 수정: y'=3ln2·2^3x-1로 고친다.
• 조건 대입: 기울기 조건에 수정된 도함수를 넣어 후보 x를 구한다.
• 역검산: 구한 후보를 원래 도함수에 다시 대입하고, 주어진 구간 안에 있는지도 확인한다.

계수가 달라진 독립 검증

이번에는 함수와 구간을 바꿔

y=5^3x-1, x∈[0,1]

에서 접선의 기울기가 10이 되는 점을 구한다.

정확한 도함수는

y'=3ln5·5^3x-1

이다. 따라서

3ln5·5^3x-1=10

에서

x={1+ln(10/(3ln5))/ln5}/3≈0.552

를 얻는다. 실제로 3ln5·5^3(0.552)−1≈10이고 0.552∈[0,1]이므로 조건을 만족한다. 이처럼 밑과 계수가 바뀌어도 바깥 함수와 안쪽 함수의 미분을 모두 반영한 뒤, 후보값을 원조건과 구간에 다시 대입해야 한다.