온수동고1수학과외: 상수항 부호로 인수의 부호 조합 예측하기
온수동에서 구로구 통학권의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 인수분해의 계산보다 먼저 확인할 판단이 있다. 이차식의 상수항이 두 인수의 곱이라는 사실을 이용해 부호 조합을 예상하는 것이다.
숫자부터 고른 뒤 부호를 붙인 풀이
예를 들어 다음 식을 인수분해한다고 하자.
x2 - 7x - 18
학생은 18의 약수인 2와 9를 먼저 고른 뒤, 가운데항의 부호를 보고 두 인수에 모두 음수 부호를 붙여 (x - 2)(x - 9)라고 적었다. 그러나 이 식을 전개하면
(x - 2)(x - 9) = x2 - 11x + 18
이므로 원래 식과 상수항의 부호부터 다르다. 숫자를 고르는 과정은 있었지만, 두 인수의 부호가 상수항과 어떤 관계를 갖는지 확인하지 않은 상태다.
상수항의 부호가 가능한 조합을 줄인다
인수분해를 (x+a)(x+b)로 나타내면 전개 결과는
x2 + (a+b)x + ab
가 된다. 따라서 상수항은 ab이다.
- 상수항이 음수이면 a와 b의 부호는 서로 반대다.
- 상수항이 양수이면 a와 b의 부호는 같고, 상수항이 양수인 경우에는 둘 다 양수이거나 둘 다 음수다.
-18은 음수이므로 두 수의 부호는 반드시 달라야 한다. 18의 약수쌍 2와 9 중 합이 -7이 되려면 -9와 2를 선택해야 한다. 그러므로
x2 - 7x - 18 = (x - 9)(x + 2)
이다. 전개하면 x2 + 2x - 9x - 18 = x2 - 7x - 18이 되어 두 조건을 모두 만족한다.
답안에 남겨야 할 판단 근거
훈련에서는 정답 인수만 쓰게 하지 않고, 다음과 같은 짧은 문장을 먼저 적게 한다.
상수항이 -18이므로 두 수의 부호는 반대여야 한다. 곱이 -18이고 합이 -7인 수는 -9와 2이다.
이 문장을 말로 설명한 뒤 인수분해를 진행하면, 부호를 감으로 붙이는 행동이 줄어든다. 상수항이 양수인 x2 + 11x + 24라면 부호가 같은 두 수를 찾아야 하며, 곱이 24이고 합이 11인 3, 8을 사용해 (x+3)(x+8)을 얻는다. 상수항의 부호가 부호 조합을 먼저 결정한다는 점은 두 문제에서 다르게 작동한다.
온수동 생활권에서 짧게 이어 가는 점검
온수동에서 귀가 시간이 늦거나 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 새 문제집을 넓게 시작하기보다, 아직 끝내지 못한 인수분해 문제에서 이 판단 근거를 유지하는 편이 효율적이다. 한 문제를 풀 때마다 숫자를 찾기 전에 상수항의 부호를 표시하고, 가능한 부호 조합을 한 문장으로 말한 뒤 계산한다.
숫자를 모두 쓰지 않고 관계를 골라내는 확인
새 문제에서는 다음과 같이 조건을 바꾼다.
어떤 직사각형의 가로를 x+4, 세로를 x-3이라 할 때 넓이가 x2+x-12로 주어졌다. 이 식을 인수분해하라.
학생이 문제 속 수를 무작정 나열하는지 보지 않고, 구할 인수에 필요한 관계만 선택하는지 확인한다. 상수항 -12이므로 두 수의 부호는 반대이고, 합은 가운데항의 계수인 1이어야 한다. 곱이 -12이고 합이 1인 수는 4와 -3이므로
x2 + x - 12 = (x+4)(x-3)
이다. 학생이 “-12의 부호 때문에 부호가 반대이고, 4+(-3)=1이므로 이 인수를 선택했다”고 설명한다면, 이전 계산을 반복한 것이 아니라 새로운 문장형 조건에서도 필요한 수량 관계를 골라 적용한 것으로 볼 수 있다.