오류동고2수학과외

오류동 고2수학과외, 밑변환 분수의 방향을 계산 줄에서 바로잡기

방과 후 이동 뒤 자습 시간이 짧은 날에는 풀이를 빠르게 끝내려는 과정에서 로그법칙을 확인하지 않고 밑변환부터 쓰는 장면이 나타날 수 있다. 오류동의 덕일전자공업고등학교 학생과 고2수학 문제를 점검하던 중에도 다음과 같은 계산이 먼저 등장했다.

곱셈 로그를 합치기 전에 밑을 확인한다

문제는 다음 식을 정리하는 것이었다.

log₂ 7 + log₂ 14 − log₂ 2

학생은 로그법칙을 적지 않고 곧바로 밑변환을 적용하면서

log₂ 7 = log₇ 2

라고 썼다. 두 로그는 서로 같은 값이 아니라 역수 관계다. 밑변환공식은

log_a b = ln b / ln a

이므로

log₂ 7 = ln 7 / ln 2,　log₇ 2 = ln 2 / ln 7

이다. 실제로 log₂ 7은 약 2.807이고 log₇ 2는 약 0.356이므로 서로 같지 않다.

원래 밑을 보존한 뒤 필요한 경우에만 바꾼다

먼저 같은 밑의 로그법칙을 적용하면

log₂ 7 + log₂ 14 − log₂ 2
= log₂(7 × 14 ÷ 2)
= log₂49
= 2log₂7

가 된다. 밑변환이 필요하다면 마지막 줄에서

2log₂7 = 2ln7 / ln2

처럼 원래 식의 밑과 진수 위치를 그대로 보존해야 한다. 로그의 밑은 0보다 크고 1이 아니어야 하며, 진수도 양수여야 한다. 이 식에서는 밑 2와 진수 7, 14, 2가 모두 조건을 만족한다.

간단한 값으로 분자와 분모의 위치를 검사하기

밑변환을 연습할 때는 문자만 조작하지 말고 간단한 값을 대입해 방향을 확인한다. 예를 들어

log₄16 = 2

이므로 밑변환 결과도

ln16 / ln4 = 2

여야 한다. 반대로 ln4 / ln16을 쓰면 1/2가 되어 원래 로그값과 달라진다. 따라서 답안에는 ‘로그법칙 적용 → 필요한 경우 밑변환’의 순서를 남기고, 밑변환식에서는 진수를 분자, 밑을 분모에 적도록 훈련한다.

문자 밑에서도 같은 기준이 유지되는지 확인하기

수치를 바꾼 다음에는 a>0, a≠1, x>0, y>0인 문자에 대해

log_ax + log_ay = log_a(xy)

를 먼저 쓰고, 밑변환을 하면

log_a(xy) = ln(xy) / ln a

로 나타내는지 확인한다. ln a / ln(xy)라고 뒤집으면 일반적으로 역수만 남으므로 원래 로그식이 보존되지 않는다. 새로운 문자 조건에서도 법칙을 먼저 선택하고 분자·분모를 검산하는 풀이가 유지되어야 한다.