오류동고1수학과외: 두 문자가 있는 이차식에서 한 문자로 인수 찾기
오류동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 문제를 많이 풀기보다 식의 문자를 어떻게 볼 것인지 먼저 정리할 필요가 있다. 덕일전자공업고등학교의 프린트에서 문자가 두 개인 식이 나왔을 때도 모든 문자를 동시에 낯선 공식으로 처리하지 않고, 한 문자를 정해 이차식으로 읽는 것이 출발점이다.
x를 기준으로 보면 y는 계수와 상수의 일부가 된다
다음 식을 보자.
x2+(y+3)x+3y
x에 관한 이차식으로 정리하면 가운데항의 계수는 y+3, 상수항은 3y이다. 곱해서 3y가 되고 더해서 y+3이 되는 두 식은 y와 3이다.
따라서 가운데항을 yx+3x로 나누면
x2+yx+3x+3y
= x(x+y)+3(x+y)
= (x+3)(x+y)
처럼 인수분해된다. 여기서 y를 숫자처럼 고정했다는 뜻은 아니다. x를 기준으로 보았기 때문에 y가 포함된 계수와 상수항 사이의 관계를 찾은 것이다.
표시 없이 다음 계산으로 넘어간 답안
실제 답안에서는 위 식을 본 뒤 학생이 두 문자를 한꺼번에 묶으려다가 x2+(y+3)x+3y=(x+y)(x+3)를 근거 없이 적거나, 바로 다음 계산으로 넘어갔다. 답 자체가 맞더라도 가운데항을 왜 yx와 3x로 나누었는지 확인 흔적이 없었다.
문제의 표현이 x와 y의 위치를 바꾸어 제시되면 새 공식으로 받아들인 것도 같은 문제를 보여 준다. 예를 들어 y2+(x+4)y+4x는 y를 기준으로 보면
y2+xy+4y+4x
= y(y+x)+4(y+x)
= (y+4)(y+x)
이다. 문자가 바뀌었을 뿐, 기준 문자의 제곱항·가운데항·상수항을 비교해 두 인수를 찾는 과정은 동일하다.
빠진 줄을 찾아 그 자리부터 다시 쓰기
오답을 고칠 때는 정답 인수만 덧붙이지 않는다. 먼저 답안에서 ‘한 문자를 기준으로 이차식으로 읽기’가 빠진 위치에 표시한다. 그 줄부터 다음 순서로 다시 작성한다.
- x를 기준 문자로 정하고 식을 x의 차수에 따라 본다.
- 곱이 상수항 3y, 합이 가운데항의 계수 y+3이 되는 y와 3을 찾는다.
- 가운데항을 yx+3x로 분리한 뒤, 두 항씩 묶어 공통인수 x+y를 확인한다.
마지막에는 전개도로 인수의 면 배치를 바꾸어 그려 보게 할 수 있다. 가로 길이를 x+3, 세로 길이를 x+y로 두면 네 부분의 넓이는 x2, yx, 3x, 3y가 되어 원래 식과 일치한다. 배치가 달라져도 넓이의 합이 같다는 점이 인수분해의 근거다.
인수분해 뒤 방정식으로 바뀌었을 때의 이항 확인
인수분해 결과를 이용해 x2+(y+3)x+3y=10을 풀 때, 인수를 찾았다는 이유로 한 항을 임의로 반대편으로 보내면 안 된다.
정확히는
(x+3)(x+y)=10
에서 양변에 같은 연산을 적용해야 한다. 예를 들어 양변에서 10을 빼면
(x+3)(x+y)-10=0
이 된다. ‘이항’이라는 말만 외우는 대신, 실제로 양변에 10을 빼었는지 답안에 적게 하면 식의 변형 근거가 드러난다.
면의 위치를 바꾼 새 문제에서 확인하기
연습 뒤에는 숫자만 바꾼 식이 아니라 전개도의 면 배치를 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 네 면의 넓이가 z2, 5z, 2wz, 10w로 주어졌다면 합은
z2+(2w+5)z+10w
이다. z를 기준으로 보면 곱이 10w, 합이 2w+5가 되는 두 식은 2w와 5이므로
z2+2wz+5z+10w
= z(z+2w)+5(z+2w)
= (z+5)(z+2w)
로 정리한다. 이때 학생이 기준 문자를 직접 정하고, 가운데항을 두 부분으로 나누며, 양변에 같은 연산을 적용했는지를 기록한다. 새 숫자와 다른 면 배치에서도 이 순서가 유지될 때 비로소 식의 모양이 아니라 문자 사이의 관계를 사용한 것으로 판단한다.