오류동고3수학과외

오류동 고3수학과외: 합성함수 미분에서 최초 오류와 정의역 검산

오류동에서 방과후 이동 후 자습시간을 확보해 공부하는 고3 학생은 정답을 확인한 뒤 풀이 전체를 다시 쓰는 습관이 강했다. 덕일전자공업고등학교가 오류동 지역 내 확인 학교이고, 오류고·경인고·구로고·신도림고는 같은 구로구 내 참고 학교이므로 통학 경로에 따라 짧은 자습 시간을 나누어 오답 점검을 진행했다.

처음 틀린 줄은 합성함수의 안쪽 미분이었다

학생은 다음 함수의 도함수를 구했다.

f(x)=e^{sin x},   0≤x≤π/3

학생의 오답은 다음과 같았다.

f′(x)=e^{sin x}

이 식은 e^u의 미분 결과에 안쪽 함수 u=sin x의 미분값을 곱하지 않았으므로 틀렸다. 연쇄법칙에 따라

f′(x)=e^{sin x}·cos x

이다. 따라서 x=π/3에서의 순간변화율은

f′(π/3)=e^√3/2·cos(π/3)=1/2 e^√3/2

학생은 처음에는 이 값을 확인한 뒤 풀이 전체를 다시 작성했지만, 어느 줄에서 cos x를 빠뜨렸는지 표시하지 않아 같은 오류를 반복했다.

정의역과 후보값을 함께 확인하는 수정 절차

이번에는 함수 자체의 정의역과 문제에서 제한한 구간을 분리해 적었다. e^{sin x}는 모든 실수에서 정의되지만, 문제의 탐색 구간은 0≤x≤π/3이다.

• □ 바깥 함수 미분: e^u → e^u
• □ 안쪽 함수 미분: u=sin x → u′=cos x
• □ 계수 누락 여부: cos x 포함
• □ 도함수 0의 후보가 문제의 구간 안에 있는지 확인

학생은 틀린 줄인 f′(x)=e^{sin x}에 표시한 뒤 다음과 같이 고쳤다.

f′(x)=e^{sin x}·cos x

e^{sin x}>0이므로 f′(x)=0이 되려면 cos x=0이어야 한다. cos x=0의 후보는 x=π/2이지만 π/2는 [0,π/3]에 포함되지 않는다. 따라서 이 구간에서는 도함수가 0이 되는 내부 후보가 없다.

끝점의 함수값도 직접 대입했다.

f(0)=1,   f(π/3)=e^√3/2

또한 0≤x≤π/3에서 cos x≥0이고 e^{sin x}>0이므로 f′(x)≥0이다. 계산 결과와 그래프의 증가 방향이 일치하는지 확인해, 누락된 계수가 단순한 기호 실수가 아니라 함수의 증가 판단까지 바꾸는 오류임을 확인했다.

구간을 바꾼 독립 검증

같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 절차를 검증했다.

g(x)=e^{sin(3x−π/2)},   π/6≤x≤π/3

안쪽 함수가 u=sin(3x−π/2)이므로

g′(x)=e^{sin(3x−π/2)}·3cos(3x−π/2)

이다. g′(x)=0이면 cos(3x−π/2)=0이다. 후보 x=π/3을 얻지만, 이번에는 구간의 오른쪽 끝점이므로 내부 임계점으로 분류하지 않고 끝점으로 따로 확인한다.

g(π/6)=e⁻¹,   g(π/3)=e¹

새 구간에서도 학생은 첫 줄에 정의역과 구간을 적고, 바깥 함수 미분 뒤 안쪽 함수의 계수 3을 곱한 다음 후보값을 구간과 대조했다. 이를 통해 e^{sin x}에서 cos x를 빠뜨린 최초 오류와, 구한 후보값을 정의역 조건 없이 포함한 오류를 각각 구분했다.