신도림고등학교 고2 로그 학습: 밑변환공식은 조건과 분자를 함께 확인해야 한다
신도림역과 신도림미성아파트 생활권에서 평일 귀가 시간이 늦어지는 날에는 학교 프린트의 로그 문제를 짧게 풀더라도 식의 근거를 남기는 과정이 필요하다. 신도림동의 신도림고등학교와 구로구 내 참고 학교들의 시험 범위·수행평가 일정이 서로 다를 수 있으므로, 이번 학습에서는 로그 단원 전체가 아니라 밑변환공식의 성립 조건과 분자·분모의 역할에 초점을 맞춘다.
log₂7을 뒤집어 쓴 순간
문제에서 log27을 밑변환하자 학생은 다음과 같이 적었다.
log27 = log72 = ln 2 / ln 7
첫 등식이 틀렸다. 밑변환공식은
logab = ln b / ln a
이므로
log27 = ln 7 / ln 2
이다. 반대로 log72 = ln 2 / ln 7이며, 두 값은 서로 같은 것이 아니라 역수 관계다.
공식보다 먼저 적어야 할 세 조건
logab에서 밑변환을 사용하려면 원래 로그의 조건과 새 밑의 조건을 구분해야 한다.
- 원래 밑:
a > 0,a ≠ 1 - 진수:
b > 0 - 바꾼 밑:
c > 0,c ≠ 1
따라서
logab = logcb / logca
는 위 조건이 성립할 때 사용할 수 있다. 예를 들어 log27에서는 밑 2와 진수 7이 모두 조건을 만족하고, 새 밑 10도 가능하므로
log27 = log 7 / log 2
로 쓴다. 학생의 풀이에서는 조건을 적지 않은 채 공식의 모양만 기억하면서 분자와 분모까지 바뀌었다. 기본 예제에서는 식을 따라갔지만 밑과 진수가 함께 바뀐 변형 문제에서 근거가 끊긴 상태다.
한 줄 점검표를 풀이식에 붙이기
다음 식을 계산할 때는 바로 계산기에 입력하지 않고, 식 옆에 오류 유형 하나만 표시하게 한다.
log381 = log 81 / log 3 = 4
여기서는 공식 항목을 확인한다. 분자는 진수 81, 분모는 원래 밑 3이므로 순서가 맞다. 이어서 34=81을 대입해 결과를 검산한다.
반면 log381 = log 3 / log 81이라고 쓰면 1/4가 되어 원래 식의 의미와 맞지 않는다. 조건·부호·범위·공식 중 한 항목만 골라 다시 확인하는 방식으로, 모든 내용을 막연히 되풀이하지 않고 실제 오류 지점을 답안에서 찾는다.
새 밑과 진수가 바뀐 문제에서 확인하기
검증 문제는 log52로 바꾼다. 풀이 첫 줄에는 다음을 스스로 적는다.
5>0, 5≠1, 2>0
그 뒤 밑을 10으로 바꾸면
log52 = log 2 / log 5
이다. log 5 / log 2라고 적었다면 이번에는 숫자 계산이 아니라 공식 오류로 판별한다. 시간 제한 없이 첫 줄에서 조건을 적고, 분자에는 진수 2, 분모에는 원래 밑 5를 놓았는지 확인하며, 마지막에는
5log 2 / log 5 = 2
라는 역관계까지 점검한다. 새로운 밑과 진수가 주어져도 조건 확인과 분자·분모 판단이 자동으로 이어지는지가 이 학습의 확인 지점이다.