신도림고1수학과외

신도림고1수학과외, 공통인수 뒤 공식 인수분해까지 이어지는 판단

신도림고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 풀다 보면 인수분해에서 첫 단계는 맞혔지만 다음 단계로 넘어가지 못하는 경우가 나타난다. 특히 신도림역 귀가 후 짧은 시간에 풀이하면 식의 모든 항을 살피기보다 앞부분만 보고 공통인수를 정하기 쉽다.

앞의 두 항만 보고 멈춘 풀이

예를 들어 다음 식을 인수분해한다고 하자.

6x³ - 24x² + 24x

학생은 첫 두 항에서 6x²를 찾아 6x²(x - 4) + 24x라고 적었다. 그러나 이 식은 모든 항을 하나의 곱으로 묶은 것이 아니며, 세 번째 항에도 6x²가 들어가야 한다는 조건을 반영하지 못했다.

세 항의 계수 6, -24, 24의 최대공약수는 6이고, 문자의 공통부분은 x이다. 따라서 먼저 6x를 묶으면

6x(x² - 4x + 4)

가 된다. 괄호 안은 x² - 4x + 4 = (x - 2)²이므로 최종 인수분해는

6x(x - 2)²

이다. 공통인수를 묶는 과정이 끝이 아니라, 괄호 안의 식이 다시 공식에 해당하는지 이어서 판단해야 한다.

괄호 안을 별도의 식으로 다시 읽기

수정할 때는 풀이 첫 줄에 공통인수를 표시하는 대신, 먼저 각 항을 짧게 분해해 확인한다.

• 6x³ = 6x · x²
• -24x² = 6x · (-4x)
• 24x = 6x · 4

따라서 세 항 모두 6x를 포함한다. 그 뒤 괄호 안의 x² - 4x + 4에서 첫째 항과 마지막 항이 각각 x², 2²이고 가운데항이 -2·x·2이므로 완전제곱식을 적용할 수 있다.

공통인수는 모든 항에서 확인하고, 묶은 뒤 생긴 괄호는 원래 식과 별개의 새 식처럼 다시 판정한다.

정답보다 확인 행동을 남기는 연습

같은 식을 다시 계산하는 것만으로는 판단이 안정됐다고 보기 어렵다. 식의 항 순서를 바꾸어 24x - 24x² + 6x³처럼 제시하고, 먼저 모든 항에서 공통인수 6x를 찾아야 한다. 이때

6x(4 - 4x + x²) = 6x(x² - 4x + 4) = 6x(x - 2)²

로 정리할 수 있다. 항의 순서가 섞여도 공통인수를 먼저 확인하고, 괄호 안의 완전제곱식 여부를 판단하는 두 행동이 모두 나타나야 한다.

새 조건에서 풀이가 이어지는지 확인하기

변형 문제로 15a³ + 30a² + 15a를 제시한다. 모든 항의 공통인수는 15a이므로

15a(a² + 2a + 1) = 15a(a + 1)²

이다. 계수와 문자가 바뀌었지만, 15a를 먼저 묶은 뒤 괄호 안에서 완전제곱식을 찾는 과정은 같다. 계산 답만 맞히는 것이 아니라 풀이 옆에 세 항의 공통인수와 괄호 안 공식의 근거를 각각 적는지 확인한다.

수행평가 피드백에서 풀이 근거가 빠졌다는 지적을 받았다면, 새 계산 문제뿐 아니라 인수분해 과정을 설명하는 자료 문제에서도 같은 표시를 사용해야 한다. 평일 귀가가 늦고 피곤한 날에는 긴 문제 세트보다 식 하나의 공통인수 표시와 재인수분해 근거를 기록하는 짧은 훈련으로 학습량을 조정할 수 있다.