신도림고등학교 고3 수학과외에서 합성 구조를 확인하는 미분 연습
오답 줄: 학생은 y=e^{x^2+1}을 미분하며 y'=e^{x^2+1}이라고 적었다. 이 식은 오답이다. 지수함수의 바깥 구조만 미분하고, 안쪽 함수 u=x^2+1의 변화율 u'=2x를 곱하지 않았기 때문이다.
지수함수 안쪽의 변화를 분리하기
먼저 y=e^u, u=x^2+1로 두면
dy/du=e^u, du/dx=2x
이므로 연쇄법칙에 따라
y'=e^u·2x=2xe^{x^2+1}
이다. 학생은 문제를 보자마자 지수함수의 미분 결과만 쓴 뒤 안쪽 식의 미분을 생략하는 습관을 보였다. 현재는 정답을 도출할 수 있지만, 합성 구조를 다른 식에 독립적으로 적용하는 단계에서는 아직 간격이 있다.
틀린 줄에 밑줄을 긋고, 바깥 함수와 안쪽 함수를 나눈다. 그다음 안쪽 변수의 관계를 확인한 뒤 식을 수정하고, 특정 값 대입이나 역계산으로 결과를 점검한다.
수정 뒤 대입으로 확인하기
x=0을 대입하면 원래 함수의 안쪽 식은 1이고, 수정된 도함수는
y'(0)=2·0·e^1=0
이다. 실제로 e^{x^2+1}은 x=0 주변에서 x^2에 의해 변하므로 그 점에서 순간변화율이 0이 되는 것과 일치한다. 반면 오답인 e^{x^2+1}을 대입하면 e가 되어 함수의 변화율 구조와 맞지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 밑과 안쪽 식을 바꾸어 y=3^{2x-1}을 미분하게 했다. u=2x-1로 놓으면
dy/du=3^u\ln3, du/dx=2
이므로
y'=2\cdot3^{2x-1}\ln3
이다. x=\frac12을 대입하면 y'=2\ln3이 되어, 안쪽 식의 계수 2와 밑 3에서 생기는 \ln3을 모두 반영했는지 확인할 수 있다. 학생은 이 검증에서 바깥 함수와 합성식의 미분을 각각 표시한 뒤 올바른 식을 완성했다.
신도림동에서 신도림고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 신도림역 생활권에서의 평일 귀가 시간을 함께 고려하면, 긴 문제를 한 번에 풀기보다 귀가 후 짧은 시간에 합성 구조 표시와 독립 검산을 반복하는 방식이 효율적이다. 같은 구로구의 경인고등학교·구로고등학교·우신고등학교 등은 참고 가능한 학교이지만 신도림동 소재 학교로 구분하지 않고, 학생의 실제 일정에 맞춰 학습량을 조정한다.