구로동고2수학과외

구로동고2수학과외 수업에서 로그식의 답은 맞았지만, 풀이를 거꾸로 확인하는 과정에서 변환 근거가 끊긴 사례가 있었다. 구로고·구일고·구현고 학생이라도 구로역이나 구로디지털단지, 구로두산아파트 등 생활 위치에 따라 학교 프린트와 복습에 쓸 수 있는 시간이 다르므로, 짧은 풀이에서도 식의 변환 과정을 남기는 습관이 중요하다.

2log₃5를 log₃10으로 바꾼 순간

문제는 다음과 같다.

2log₃5를 하나의 로그로 나타내어라.

풀이를 적던 중 2log₃5 = log₃10이라고 쓴 뒤 다음 줄로 넘어갔다. 그러나 로그의 곱셈 법칙은

log_aM + log_aN = log_a(MN)

이고, 계수는 진수의 지수로 옮겨야 한다.

klog_aM = log_a(M^k)

따라서

2log₃5 = log₃(5²) = log₃25

이다. 반면 log₃10은 log₃(2×5)이므로 log₃2 + log₃5에 해당한다. 계수 2를 진수의 곱셈으로 바꾼 것이 아니라 진수의 제곱으로 바꾸어야 했던 것이다.

변환 뒤 원래 식으로 돌아가는 역계산

식을 바꾼 다음에는 진수에 밑의 지수를 적용해 원래 값을 복원한다.

log₃25 = t라면 3^t = 25이다. 그런데 처음 식에서 t = 2log₃5이므로

3^2log₃5 = (3^log₃5)² = 5² = 25

가 되어 원식과 일치한다. 반대로 잘못된 log₃10을 역계산하면 3^log₃10 = 10이므로 5²와 다르다는 사실이 바로 드러난다.

이때 답안에는 변환식만 쓰지 않고, 계수 2 → 진수 5의 제곱이라고 표시한 뒤 마지막에 3^log₃25 = 25를 적는다. 그러면 새로운 숫자가 나와도 같은 법칙을 기계적으로 반복하지 않고 원식과 비교할 수 있다.

밑과 부호가 함께 바뀐 식에서 순서를 다시 세우기

다음 식으로 확인한다.

-3log_1/34

먼저 계수를 진수의 지수로 옮기면

-3log_1/34 = log_1/3(4^-3) = log_1/3(1/64)

이다. 밑은 1/3으로 0보다 크고 1이 아니며, 진수 1/64도 양수이므로 로그 조건을 만족한다. 역계산하면

(1/3)^{log_1/3(1/64)} = 1/64

이고, 원래 식에서도

(1/3)^-3log_1/34 = ((1/3)^log_1/34)^-3 = 4^-3 = 1/64

가 된다. 밑이 바뀌었다고 계수의 부호를 임의로 바꾸는 것이 아니라, 음의 계수를 그대로 진수의 음의 지수로 옮겨야 한다.

구로동의 학교별 프린트 문제를 정리할 때는 각 로그식 옆에 ① 공통 밑 확인 ② 계수의 지수 변환 ③ 역계산의 세 줄을 남긴다. 특히 마지막 검산에서 변환된 로그의 진수가 원래 식의 거듭제곱과 일치하는지 확인해야 한다.