구로동 고3 수학과외에서 확인한 로그함수 미분의 조건 점검
구로동의 구로고등학교, 구일고등학교, 구현고등학교에 다니는 학생들은 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 공부 리듬이 달라질 수 있다. 구로역이나 구로디지털단지 주변에서 수업 뒤 바로 복습하는 학생과 아파트 생활권에서 늦은 시간 재풀이하는 학생 모두, 로그 미분에서는 계산보다 밑과 정의역을 먼저 확인해야 한다.
기억한 미분식을 먼저 적은 오답
학생은 다음 함수의 도함수를 구하는 과정에서 중간식을 외워 둔 형태로 먼저 적었다.
문제: \(f(x)=\log_{1/3}(x^2+1)\)일 때 \(f'(x)\)를 구하여라.
학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 나타났다.
오답: \(f'(x)=\dfrac{2x}{\ln(3)(x^2+1)}\)
이 식은 틀렸다. 밑이 \(1/3\)이므로
\[ \log_{1/3}u=\frac{\ln u}{\ln(1/3)} \]
이고, \(\ln(1/3)=-\ln 3\)이다. 따라서 분모의 부호를 반드시 음수로 반영해야 한다. 합성함수 \(u=x^2+1\)의 도함수는 \(u'=2x\)이므로 정확한 결과는
\[ f'(x)=\frac{1}{\ln(1/3)}\cdot\frac{2x}{x^2+1} =-\frac{2x}{(x^2+1)\ln 3} \]
이다. 또한 \(x^2+1>0\)이므로 정의역은 모든 실수이고, 밑 \(1/3\)은 \(0<1/3\neq1\)을 만족한다.
틀린 줄에서 조건과 변수 관계를 다시 확인하기
학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 밑의 범위와 로그 안쪽 함수의 값을 따로 적었다.
- \(0<a=1/3\neq1\)
- \(x^2+1>0\)
- \(\dfrac{d}{dx}\log_a u=\dfrac{u'}{u\ln a}\)
그다음 \(\ln(1/3)=-\ln3\)을 대입해 부호를 수정했다. \(x=1\)을 넣으면 올바른 도함수는
\[ f'(1)=-\frac{2}{2\ln3}=-\frac1{\ln3} \]
이다. 원함수는 밑이 \(1/3\)인 로그함수이므로 \(x>0\)에서 감소해야 한다. 실제로 \(x=1\)에서 도함수가 음수이므로 그래프의 방향과도 일치한다. 이처럼 부호를 계산 결과뿐 아니라 함수의 증가·감소와 연결해 검산했다.
합성 구조가 달라진 문제로 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 밑과 합성함수를 바꾸어 다음 문제를 제시했다.
검증 문제: \(g(x)=\log_{1/5}(3x-2)\)의 도함수와 정의역을 구하여라.
이번에는 먼저 \(3x-2>0\)을 적어 \(x>2/3\)을 확인한 뒤 미분하도록 했다.
\[ g'(x)=\frac{3}{(3x-2)\ln(1/5)} =-\frac{3}{(3x-2)\ln5} \]
\(x=1\)을 대입하면
\[ g'(1)=-\frac3{\ln5}<0 \]
이므로 밑이 \(0<1/5<1\)인 로그함수가 정의역에서 감소한다는 사실과도 맞는다. 학생은 새로운 밑과 일차식이 제시되어도 밑의 조건 확인 → 로그 안쪽의 정의역 확인 → 합성함수 미분 → 부호 검산의 순서를 유지하며 중간식을 무작정 기억해 쓰는 오류를 줄였다.