구로동고1수학과외, 정수 범위에서 인수분해를 멈춰야 하는 순간
구로고등학교·구일고등학교·구현고등학교가 있는 구로동에서는 학교와 구로역, 구로디지털단지 또는 주거지 사이의 이동 시간에 따라 문제를 검토할 여유가 달라질 수 있다. 시간이 부족할수록 학생은 식을 빨리 묶으려 하지만, 모든 다항식이 정수 계수의 두 일차식으로 분해되는 것은 아니다.
곱이 5이고 합이 2인 정수는 없다
예를 들어 다음 식을 인수분해하라는 문항을 보자.
x2 + 2x + 5
상수항이 5이므로 두 정수의 곱이 5이고 그 합이 2여야 한다. 가능한 정수쌍은 1과 5, -1과 -5뿐이며 합은 각각 6, -6이다. 따라서 정수 범위에서는 인수분해되지 않는다.
판별식으로도 확인할 수 있다. b2 - 4ac = 22 - 4·1·5 = -16이므로 실수 근조차 없다. 이 식을 (x+1)(x+5)처럼 쓰면 전개 결과가 x2+6x+5가 되어 원래 식과 달라진다.
답안에서 사라진 확인 흔적
시간 제한이 걸린 풀이에서 학생은 x2+2x+5를 곧바로 두 괄호로 묶은 뒤, 맞지 않는 계수를 다음 계산으로 넘겼다. 답안에는 “정수 두 수의 곱과 합을 확인했는가”라는 표시가 없었고, 틀린 식을 고친 뒤에도 정답만 다시 적었다.
이는 인수분해 개념을 전혀 모르는 상태라기보다, 정수 범위에서 분해 가능성을 판단하는 절차를 생략한 상태에 가깝다. 특히 혼자 풀 때 이 판단을 말이나 기호로 남기지 않아, 억지로 만든 괄호가 검산 없이 풀이에 들어갔다.
묶기 전에 식의 역할부터 연결하기
수정할 때는 공식부터 쓰지 않고 문제에서 요구하는 대상을 먼저 확인한다. 예를 들어 어떤 도형의 넓이를 정리하는 과정에서
S = x2 + 6x + 13
이 나왔다면, 상수항 13과 가운데항 6을 보고 정수 두 수의 곱이 13, 합이 6인지 점검한다. 1과 13의 합은 14이고 -1과 -13의 합은 -14이므로 정수 인수분해는 불가능하다. 이때 식은
S = (x+3)2 + 4
처럼 완전제곱을 이용해 정리할 수 있지만, 이를 두 정수 일차식의 곱으로 억지로 바꾸지는 않는다. 도형 문제라면 x가 길이인지, S가 넓이인지 확인한 뒤 조건에 맞는 값의 범위도 함께 살핀다.
새 수치로 판단 순서를 확인하다
훈련 문항은 y2 - 4y + 11로 바꾸었다. 학생이 먼저 정수 두 수의 곱이 11이고 합이 -4가 되는지 적게 하자, 가능한 쌍 1과 11 또는 -1과 -11의 합이 -4가 아님을 확인했다. 따라서 정수 범위에서는 인수분해하지 않고, 필요하면 (y-2)2+7로 정리했다.
길이와 각 조건을 바꾼 도형에서의 검증
마지막에는 같은 식을 반복하지 않고 도형 조건을 바꾼 문항을 제시한다. 직각삼각형의 두 변이 각각 x+2, x+5이고 빗변이 x+7일 때, 피타고라스 조건은
(x+2)2 + (x+5)2 = (x+7)2
이다. 전개하면 x2-4x-20=0이므로, 먼저 이 식이 정수 범위에서 인수분해되는지 확인한다. 곱이 -20이고 합이 -4인 정수는 -8과 4이므로
x2-4x-20 = (x-? )
로 바로 묶을 수 없다는 사실을 확인하고, 근의 공식 등 적절한 방법으로 해결해야 한다. 이때 x가 길이와 관련된 값이므로 양의 조건과 삼각형의 변 조건도 함께 확인한다. 길이나 각이 바뀐 문항에서도 먼저 주어진 조건과 구할 도형 요소를 연결하고, 그다음 인수분해 가능 여부를 판단한다면 계산을 억지로 진행하는 오류가 줄어든다.