고척동고2수학과외

고척동고2수학과외에서 점검한 거듭제곱의 로그 계산

고척고등학교와 경인고등학교의 학교 프린트나 지필평가 범위를 공부할 때 로그법칙은 한 줄의 변형만 빠져도 답이 달라진다. 고척푸르지오아파트와 삼익아파트 생활권에서 평일 귀가 후 짧게 풀이하더라도, 계산 결과보다 각 줄에서 어떤 법칙을 사용했는지 남기는 습관이 필요하다.

2log₃5를 log₃10으로 바꾼 이유

다음 식을 정리하는 과정에서 풀이가 멈췄다.

2log₃5

학생은 계수 2를 진수에 곱하는 방식으로 처리하여

2log₃5 = log₃10

이라고 적었다. 그러나 로그의 거듭제곱 법칙은

klog_aM = log_a(M^k)

이다. 따라서 정확한 변형은

2log₃5 = log₃(5²) = log₃25

이다. log₃10은 log₃(2×5)에 해당하므로, 계수 2를 진수의 곱셈으로 바꾼 결과가 아니다. 이 식에서는 밑 3이 0보다 크고 1이 아니며, 진수 5도 양수이므로 로그법칙을 적용할 조건도 만족한다.

법칙을 거꾸로 되돌려 계산 줄을 검사하기

이 오류는 공식을 전혀 모르는 경우보다, 법칙을 적용한 줄을 생략하고 결과만 적을 때 발생하기 쉽다. 풀이에는 다음 세 줄을 남긴다.

3log₃5 = log₃(5³) = log₃125

그다음 결과를 다시 계수 형태로 되돌린다.

log₃125 = log₃(5³) = 3log₃5

원래 식이 복원되면 지수와 계수의 대응이 맞는지 확인할 수 있다. 반대로 log₃10을 되돌리면 log₃(2×5)일 뿐이므로 2log₃5가 복원되지 않는다. 자기점검이 계산 마지막에만 머물러 있었기 때문에, 계수 2가 진수의 지수 2로 바뀌어야 한다는 연결이 끊긴 셈이다.

진수의 조건까지 함께 남기는 좁은 검증

다음 식을 정리해 보며 같은 판단을 확인한다.

log₂(x²) - 2log₂x

이 식에서 두 번째 항의 로그가 존재하려면 x>0이어야 한다. 따라서 정의조건을 먼저 적고, 거듭제곱의 로그법칙을 적용한다.

x>0

log₂(x²) = 2log₂x

log₂(x²) - 2log₂x = 0

여기서 x가 음수인 경우까지 답에 포함하면 안 된다. log₂x가 정의되지 않기 때문이다. 새로운 수와 진수가 주어져도 계수를 진수의 지수로 바꾸는 줄을 직접 쓰고, 마지막에는 그 조건과 얻은 결과의 교집합을 확인하는지가 계산의 기준이다.