고척동고1수학과외, 인수분해식을 항별로 역전개하는 검산
고척고등학교나 경인고등학교의 학교 프린트에서 인수분해 문항을 풀 때, 답을 적은 즉시 표시하는 습관만으로는 가운데항의 오류를 놓치기 쉽다. 인수분해는 결과를 다시 곱해 원래 다항식의 각 항과 맞춰 보는 과정까지 포함해야 한다.
곱의 모양은 맞았지만 가운데항이 달라진 경우
예를 들어 다음 식을 인수분해한다고 하자.
3x²+11x+6
두 이항식의 상수항 곱이 6이고, x²항의 계수 곱이 3이 되도록 찾으면
3x²+11x+6=(3x+2)(x+3)
이다. 그런데 학생이 답란에 (3x+1)(x+6)이라고 적고 바로 정답 표시를 했다면, 양끝 항만 보고 판단한 것이다. 이 식을 전개하면
(3x+1)(x+6)=3x²+18x+x+6=3x²+19x+6
이므로 원래 식의 가운데항 11x와 일치하지 않는다.
전개 검산은 항을 따로 비교해야 한다
정확한 결과를 얻은 뒤에는 분배법칙으로 네 곱을 적는다.
(3x+2)(x+3)=3x·x+3x·3+2·x+2·3
이를 정리하면
3x²+9x+2x+6=3x²+11x+6
따라서 x²항은 3x², 가운데항은 11x, 상수항은 6으로 원래 식의 세 항과 모두 일치한다. 여백에는 ‘제곱항-가운데항-상수항’처럼 비교 흔적을 남기면, 결과만 보고 넘어가는 행동을 줄일 수 있다.
빠진 확인 흔적이 오답을 오래 남긴다
이 학생은 인수분해 절차 자체를 전혀 수행하지 못한 상태라기보다, 얻은 결과와 원래 식의 관계를 역으로 확인하지 않는 상태에 가깝다. 특히 부호나 가운데항 계수가 바뀐 경우에는 인수분해 모양이 그럴듯해 보여도 오류를 발견하지 못한다.
고척동에서 평일 귀가 시간이 학교별로 다르고, 학교 프린트와 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 긴 풀이보다 한 줄의 역전개를 고정하는 편이 효율적이다. 인수분해 답 옆에 전개식을 짧게 적어 세 항을 대조하는 방식으로 연습한다.
수치를 바꾼 문항에서 검산 행동 확인하기
다음 문항에서는 같은 식을 반복하지 않고 계수를 바꾼다.
4x²-4x-15
이를 인수분해하면
4x²-4x-15=(2x+3)(2x-5)
이다. 역전개하면
(2x+3)(2x-5)=4x²-10x+6x-15=4x²-4x-15
학생이 스스로 양끝 항뿐 아니라 -10x+6x=-4x라는 가운데항까지 확인하는지 본다. 답만 맞히는 것이 아니라, 원래 식의 세 항이 각각 어디에서 나왔는지 설명하면 검산 행동이 실제 풀이에 자리 잡았다고 볼 수 있다.
소인수의 역곱으로 빠진 요소 찾기
검산 행동을 다른 표현에도 적용하기 위해 180=2²×3²×5를 확인하게 할 수 있다. 오른쪽의 소인수를 역으로 곱하면
2×2×3×3×5=180
이다. 만약 2²×3×5=90이라고 적었다면 3의 지수 하나가 빠졌다는 사실을 역곱으로 찾을 수 있다. 이후 인수분해 문제에서도 결과를 다시 곱해 빠진 항이나 잘못된 계수를 스스로 표시하는지 확인한다.
도형 자료가 함께 제시된 경우에는 그림의 위치를 회전해도 식의 계수 관계를 기준으로 검산하게 한다. 회전된 배치나 표현이 달라져도 인수분해 결과를 전개해 원래 식과 항별로 맞추는 행동이 유지되는지가 최종 확인 지점이다.