고척동 고3수학과외, 로그함수 미분에서 최초 오류 찾기
고척동에서 고척고등학교와 경인고등학교에 다니는 학생들은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 서로 다를 수 있다. 고척푸르지오아파트와 삼익아파트 생활권의 고3 학생 사례에서는 긴 풀이를 한꺼번에 외우기보다, 귀가 후 짧은 시간에도 중간식의 조건과 계수를 확인하는 방식으로 학습을 정리했다.
자연로그와 밑이 다른 로그를 구별한 풀이
학생이 풀이한 문제는 다음과 같다.
함수 \(f(x)=\log_3(2x-1)\)의 도함수를 구하여라.
먼저 로그의 정의역은 \(2x-1>0\)이므로 \(x>\frac12\)이다. 밑 \(3\)은 \(e\)가 아니므로
\[ \frac{d}{dx}\log_a u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a} \]
를 적용해야 한다. 따라서
\[ f'(x)=\frac{2}{(2x-1)\ln3} \]
가 정확한 답이다.
‘계산 실수’가 아니라 조건 누락으로 표시하기
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\[ f'(x)=\frac{2}{2x-1} \]
이 식은 오답이다. \(\log_3 x\)를 \(\ln x\)처럼 미분하여 \(\ln3\)을 빠뜨렸기 때문이다. 밑이 \(e\)일 때만 \(\ln e=1\)이므로 생략할 수 있다. 또한 원래 함수가 정의되려면 \(2x-1>0\)이라는 조건도 함께 확인해야 한다.
- □ 밑이 \(e\)인가?
- □ 로그 안의 함수 \(u(x)=2x-1\)을 확인했는가?
- □ \(u'(x)=2\)를 분자에 반영했는가?
- □ \(u(x)>0\)인 정의역을 확인했는가?
- □ 분모에 \(\ln3\)을 남겼는가?
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, \(\log_3 x=\frac{\ln x}{\ln3}\)로 역계산했다.
\[ \log_3(2x-1)=\frac{\ln(2x-1)}{\ln3} \]
그러면
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(2x-1)}{\ln3}\right) =\frac{1}{\ln3}\cdot\frac{2}{2x-1} =\frac{2}{(2x-1)\ln3} \]
가 되어 출발식에서 누락한 계수가 \(\ln3\)임을 확인할 수 있다. 예를 들어 \(x=1\)을 대입하면 정확한 도함수는 \(\frac{2}{\ln3}\)이고, 오답은 \(2\)이므로 두 식이 같지 않다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않고 밑과 로그 안의 식을 바꾸어 다음 문제를 풀었다.
\(g(x)=\log_{\frac12}(5-2x)\)의 도함수와 정의역을 구하여라.
밑은 \(0<\frac12\ne1\)이므로 로그의 밑 조건을 만족한다. 로그 안의 식에서 \(5-2x>0\)이어야 하므로 정의역은 \(x<\frac52\)이다. 미분하면
\[ g'(x)=\frac{-2}{(5-2x)\ln\frac12} =\frac{2}{(5-2x)\ln2} \]
이다. \(x=1\)을 대입하면 \(g'(1)=\frac{1}{2\ln2}\)가 된다. 밑이 \(e\)가 아닌데도 \(\ln\frac12\)를 생략하지 않았고, 부호와 정의역까지 함께 확인하면서 수정 기준이 실제 풀이에 적용되었는지 검증했다.