개봉동중2수학과외, 확률의 분모를 실제 경우로 세는 연습
개봉역과 개봉푸르지오아파트 주변에서 학교와 학원, 집을 오가는 중2 학생은 짧은 시간 안에 학교 프린트와 과제를 처리해야 하는 경우가 많다. 개봉중학교, 개웅중학교, 경인중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 고척중학교와 구로중학교는 같은 구로구 통학권을 살필 때 참고할 수 있다. 다만 학교별 시험 난도나 출제경향을 단정하기보다, 제한된 시간에 확률 문제의 조건을 정확히 읽고 답안을 완성하는 훈련이 우선이다.
숫자를 세는 것과 경우를 세는 것은 다르다
중2 확률에서 자주 나타나는 장면은 문제에 나온 숫자의 개수를 곧바로 분모로 적는 것이다. 예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있고 공 하나를 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률을 구한다면, 전체 경우는 숫자 2와 3을 센 2가지가 아니다. 공 하나하나가 구별되지 않더라도 가능한 결과를 같은 기준으로 세어 전체 5개, 원하는 사건 2개로 보아 확률은 2/5가 된다.
학생은 문제를 읽은 뒤 “숫자가 몇 개 나왔지?”라고 묻고, 그 수를 분모에 적는다. 이후 답지에서 2/5를 확인하면 실제 조건을 다시 읽지 않은 채 오답노트에 ‘확률 계산 실수’라고 표시한다. 그러나 이 장면은 계산 오류가 아니라 전체 경우와 사건 경우를 설정하는 과정에서 생긴 확률 설정 오류다.
현재 학습에서 드러나는 막힘
교과서 예제에서는 공의 개수와 확률 공식이 바로 연결되지만, 학교 프린트에서는 동전 두 개, 주사위 한 개, 숫자 카드처럼 상황이 달라진다. 학생은 공식 확률 = 원하는 경우의 수 / 전체 경우의 수를 외웠어도 무엇을 하나의 경우로 볼지 결정하지 못한다. 한 문제에 오래 머문 뒤에는 답지를 보고 맞힌 문제까지 해결된 것으로 표시하고, 검산도 원래 조건에 답을 대입하는 대신 분수 계산을 다시 하는 데 그친다.
“분모는 문제에 나온 숫자의 개수가 아니라, 같은 기준으로 나눈 전체 결과의 수야.”
풀이 전에 경우의 기준을 고정한다
첫 단계에서는 계산을 금지하고 상황을 말로 바꾼다. 주사위를 한 번 던지는 문제라면 가능한 결과를 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 적어 전체 경우를 6으로 정한다. 짝수가 나오는 사건이라면 2, 4, 6을 따로 표시하여 원하는 경우를 3으로 적는다. 따라서 확률은 3/6=1/2이다.
두 개의 동전을 동시에 던지는 문제에서는 앞면과 뒷면의 조합을 수형도로 펼친다. 앞면을 H, 뒷면을 T로 쓰면 HH, HT, TH, TT 네 가지가 전체 경우다. 앞면이 정확히 한 번 나오는 경우는 HT와 TH 두 가지이므로 확률은 2/4=1/2이다. HT와 TH를 하나로 합치면 순서를 놓치게 되므로, 동전을 두 개 사용했다는 조건을 표시해야 한다.
학생이 직접 수행할 수정 행동
- 문제에서 실험 단위를 먼저 밑줄 친다. 공 하나, 주사위 한 번, 동전 두 개처럼 무엇을 한 번의 결과로 볼지 표시한다.
- 전체 경우를 왼쪽에, 원하는 사건을 오른쪽에 나누어 적는다.
- 수형도나 목록으로 가능한 결과를 실제로 펼치고 중복된 결과와 빠진 결과에 각각 표시한다.
- 분수 작성 전에 분모가 전체 결과를 뜻하는지, 분자가 원하는 사건만 뜻하는지 말로 설명한다.
- 답을 구한 뒤 원래 조건을 다시 읽고 “이 결과 중 원하는 것은 몇 개인가?”를 확인한다.
여사건을 이용하는 경우에도 단순히 1에서 아무 수나 빼지 않는다. 주사위를 한 번 던져 6의 약수가 나오지 않을 확률을 구한다면, 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 네 가지이므로 그 확률은 4/6=2/3이다. 여사건인 6의 약수가 나오지 않는 경우는 4, 5 두 가지이므로 2/6=1/3이며, 두 확률의 합이 1인지 확인한다.
사례: 답지를 본 뒤에도 남아 있던 오답
한 학생은 숫자 카드 1, 2, 3, 4 중에서 한 장을 뽑아 짝수가 나올 확률을 구하는 문제에서 분모를 숫자의 종류인 4가 아니라 문제에 등장한 수의 개수 2로 적었다. 답지의 1/2를 본 뒤에는 결과만 고쳐 쓰고 ‘완료’ 표시를 했다. 다음 프린트에서 카드가 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 늘어나자 짝수 3개를 보고 분모를 다시 2로 정했다.
풀이를 수정할 때는 카드 6장을 한 줄로 적고 2, 4, 6에 동그라미를 쳤다. 전체 경우 6, 원하는 경우 3이라는 두 문장을 먼저 쓴 뒤 3/6=1/2를 계산했다. 오답 원인을 계산 실수가 아닌 전체 경우 설정 오류로 기록하자, 비슷한 문제에서 분모만 먼저 쓰는 습관이 줄었다.
새 조건으로 독립 검증하기
같은 숫자와 같은 답을 다시 내는 방식은 검증이 아니다. 다음에는 주사위를 두 번 던져 두 눈의 합이 7일 확률을 확인한다. 첫 번째 눈과 두 번째 눈을 구분하여 전체 경우를 6×6=36으로 적고, 합이 7인 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 여섯 경우를 찾는다. 확률은 6/36=1/6이다.
이때 학생이 1부터 12까지의 합만 세어 분모를 12로 쓰는지, (1,6)과 (6,1)을 같은 것으로 처리하는지 살핀다. 제한 시간 4분 안에 수형도 또는 표를 완성하고, 분모·분자의 의미를 설명한 뒤 답을 제출하게 한다. 또한 “합이 7이 아닌 경우”를 여사건으로 바꾸어 1-1/6=5/6이 되는지 확인한다. 새 숫자, 새 사건, 새 표현에서 같은 기준을 유지할 때 비로소 학습된 것으로 판단한다.
개봉동 중2수학과외에서 확인하는 방식
수업에서는 많은 문제를 빠르게 풀게 하기보다 한 문제의 조건을 분해한다. 학생이 전체 경우를 임의로 정하면 즉시 정답을 알려 주지 않고, 실험 단위와 가능한 결과를 다시 말하게 한다. 답지를 본 문제는 완료 목록에서 바로 제거하지 않고, 숫자와 사건을 바꾼 독립 문제까지 통과해야 마친 것으로 기록한다.
통학과 과제 시간이 겹쳐 긴 복습 시간을 확보하기 어렵다면 수업 후 한 문제를 골라 전체 경우, 원하는 경우, 확률, 검산 문장 네 줄만 남기는 방식으로 관리한다. 오답노트의 양보다 같은 오류가 새 조건에서 재발하는지 확인하는 것이 중요하다.
자주 묻는 질문
분모를 빨리 정하는 방법이 있나요?
문제에 나온 숫자 개수를 세지 말고, 실험에서 가능한 결과를 같은 기준으로 목록화해야 합니다. 목록이나 수형도를 먼저 만들면 분모가 분명해집니다.
답이 맞으면 검산이 끝난 것 아닌가요?
답지와 같은 숫자를 얻는 것만으로는 부족합니다. 원래 조건에서 전체 경우와 원하는 경우를 다시 설명하고, 숫자나 사건을 바꾼 문제에도 적용해야 합니다.
확률 오답은 모두 계산 실수인가요?
아닙니다. 분모를 잘못 정한 경우는 확률 설정 오류이고, 가능한 결과를 빠뜨리면 경우 누락, 같은 결과를 두 번 세면 중복 오류입니다.