개봉동중3수학과외, 완전제곱식 전개에서 계산 전 조건을 확인하는 연습
학생이 학교 프린트의 다음 식을 보고 바로 답을 적었다.
(x+3)²=x²+9
겉으로는 제곱을 계산한 것처럼 보이지만, 가운데 항인 6x가 빠져 있다. 이 학생은 3²만 계산하면 된다고 생각해 완전제곱식의 모양을 확인하지 않고 정답 칸부터 채웠다. 중3 수학에서 중요한 것은 공식을 외워 적는 데서 끝나지 않고, 어떤 식이 완전제곱식인지 판단한 뒤 전개 결과가 무엇을 의미하는지 구분하는 것이다.
상수항만 제곱하는 순간 빠지는 항
(x+3)²는 (x+3)(x+3)과 같은 식이다. 따라서 두 괄호를 각각 곱하면
x²+3x+3x+9=x²+6x+9
가 된다. 학생이 처음 쓴 식은 마지막 항은 맞았지만, x와 3을 서로 교차해 곱한 두 항을 누락한 경우다. 이때 “제곱을 했으니 각각 제곱한다”라고만 말하면 다시 같은 오답이 나올 수 있다. 학생에게는 먼저 괄호를 두 번 써서 곱셈의 구조를 보이게 하고, 가운데 두 항이 왜 생기는지 말하게 했다.
그 다음에는 공식을 바로 적용하되, 식의 부호를 먼저 확인했다.
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
예를 들어 (x-5)²에서는 가운데 항이 +10x가 아니라 -10x이다.
(x-5)²=x²-10x+25
학생은 처음에 2ab를 계산하면서 b에 5만 넣어 x²+10x+25라고 썼다. 수정할 때는 ‘-5’를 따로 떼어 보지 않고 b=-5로 괄호째 대입하게 했다.
x²+2·x·(-5)+(-5)²=x²-10x+25
정답 계산 전에 식의 조건을 읽는 이유
완전제곱식 전개 문제에서는 숫자만 보고 공식을 적용하면 안 된다. 괄호 안이 두 항의 합인지 차인지, 앞 항과 뒤 항이 무엇인지 먼저 정해야 한다. (2x+3)²에서 a는 2x, b는 3이므로
(2x+3)²=(2x)²+2(2x)(3)+3²
=4x²+12x+9
이다. 학생은 2x를 x로 보고 x²+12x+9라고 적었다. 이 오답은 가운데 항만의 문제가 아니라, 괄호 안 전체를 하나의 항으로 읽지 못한 데서 시작된다. 그래서 풀이 첫 줄에 a=2x, b=3을 작게 표시하도록 했다. 이렇게 하면 첫 항도 (2x)²로 계산해야 한다는 사실이 드러난다.
반대로 (3x-2)²에서는 a=3x, b=-2로 놓는다.
(3x-2)²=(3x)²+2(3x)(-2)+(-2)²
=9x²-12x+4
학생이 답을 쓴 뒤에는 결과만 비교하지 않고 세 가지를 확인했다. 첫째, 첫 항의 차수가 맞는가. 둘째, 가운데 항의 부호와 계수가 원래 두 항의 곱에서 나왔는가. 셋째, 마지막 항은 상수항의 제곱인가. 이 점검은 계산을 다시 처음부터 하는 것이 아니라, 각 항의 의미를 확인하는 과정이다.
전개와 원래 식으로 돌아가는 검산을 연결하기
완전제곱식 전개는 반대로 묶어 보면서도 검산할 수 있다. 학생이 4x²+12x+9를 얻었다면 첫 항과 마지막 항에서 각각 2x와 3을 찾고, 가운데 항이 2·(2x)·3=12x인지 확인한다. 따라서
4x²+12x+9=(2x+3)²
로 돌아간다. 이때 가운데 항이 12x가 아니라 10x라면 두 제곱 항만 보고 맞다고 판단할 수 없다. 완전제곱식은 양끝 항만 맞는다고 완성되는 것이 아니라 가운데 항까지 함께 맞아야 한다.
개봉동에서 수업하는 학생들은 개봉역 주변에서 학교와 학원, 귀가 시간을 함께 조정해야 하는 경우가 있다. 개봉중학교·개웅중학교·경인중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 고척중학교와 구로중학교는 같은 구로구의 참고 학교로 볼 수 있다. 지역 내 고등학교가 확인된다는 의미가 아니라, 고등학교 진학 뒤 통학과 과제 시간이 늘어날 수 있다는 점을 고려해 짧은 시간에도 풀이 근거를 남기는 연습을 진행한다.
숫자와 문장 형태가 바뀐 문제에서 다시 꺼내기
다음 수업에서는 앞서 틀린 식을 그대로 반복하지 않고 조건을 바꿨다.
(4y-1)²
학생은 처음에 16y²-1이라고 썼다. 이번에는 계산을 멈추고 먼저 “a=4y, b=-1이므로 가운데 항은 2·4y·(-1)”이라고 적었다. 그 결과
(4y-1)²=16y²-8y+1
을 스스로 완성했다. 이어서 “어떤 수를 제곱한 식인가?”라는 질문을 주자, 16y²-8y+1을 보고 (4y-1)²로 되돌렸다. 전개와 역방향 판단을 모두 도움 없이 수행했기 때문에 외운 답을 재현한 것이 아니라 식의 구조를 사용한 것으로 볼 수 있다.
마지막 검증에서는 문장으로 제시된 식을 사용했다. “한 변의 길이가 2x+5인 정사각형의 넓이를 전개하라”는 조건에서 학생은 넓이가 (2x+5)²임을 먼저 적고, (2x)²+2·(2x)·5+5²의 순서로 계산했다. 이제는 정답만 쓰지 않고, 왜 그 식을 선택했는지와 각 항이 어디서 나왔는지를 함께 설명한다. 중3 수학에서 완전제곱식 전개의 기준은 공식을 빨리 쓰는 속도보다, 계산 전에 식의 형태와 부호를 확인하고 결과를 원래 구조로 검증하는 데 있다.