개봉동고2수학과외

개봉동 고2수학과외: 거듭제곱의 로그는 조건을 먼저 확인해야 합니다

개봉역과 개봉푸르지오아파트 생활권에서 학교 과제와 지필평가를 함께 준비하다 보면, 로그법칙을 외운 뒤 바로 식을 바꾸는 풀이가 자주 나타납니다. 특히 거듭제곱이 붙은 로그에서는 밑과 진수의 조건을 확인하지 않으면 공식 적용 자체가 불가능한 식도 그대로 계산하게 됩니다.

2log₃5를 log₃10으로 바꾼 이유

다음 식을 정리하는 과정에서 학생은 첫 줄에 다음과 같이 적었습니다.

2log₃5 = log₃10

그러나 계수 2는 진수에 곱하는 것이 아니라 진수의 지수로 옮겨야 합니다.

klog_aM = log_a(M^k)

따라서

2log₃5 = log₃(5²) = log₃25

입니다. log₃10은 log₃(2×5)에 해당하므로, 원래 식의 계수 2를 정확하게 반영하지 못한 표현입니다.

공식을 쓰기 전 밑과 진수를 표시하기

로그가 실수 범위에서 정의되려면 밑과 진수에 다음 조건이 필요합니다.

• 밑 a는 a>0, a≠1
• 진수 M은 M>0

예를 들어

2log₃5

에서는 밑 3이 0보다 크고 1이 아니며, 진수 5도 양수이므로 로그가 정의됩니다. 이 확인 뒤에야 거듭제곱의 로그 법칙을 적용할 수 있습니다.

풀이 훈련에서는 조건·부호·범위·공식 중 하나만 점검 항목으로 정해, 위 식의 경우에는 공식 적용만 다시 확인하게 합니다. 답안에는 다음처럼 한 줄을 남깁니다.

3>0, 3≠1, 5>0이므로 정의됨
2log₃5 = log₃(5²) = log₃25

밑이 달라진 식에서 같은 판단이 유지되는가

하루 뒤에는 다음 식으로 확인합니다.

−3log_1/24

먼저 밑과 진수를 확인하면

0<1/2, 1/2≠1, 4>0

이므로 로그가 정의됩니다. 그다음 계수 −3을 진수의 지수로 옮깁니다.

−3log_1/24 = log_1/2(4⁻³) = log_1/2(1/64)

밑이 1/2이라는 이유로 이 로그법칙의 등식 방향이 바뀌지는 않습니다. 부등식에서만 밑의 증가·감소가 방향에 영향을 주며, 여기서는 계수를 지수로 옮기는 공식 자체를 정확히 적용하면 됩니다. 새로운 밑과 진수에서도 조건을 먼저 쓰고, 계수를 진수의 지수로 바꾸었는지 확인하는 것이 검증 기준입니다.