개봉동 고3 수학과외에서 다룬 로그함수 미분의 조건 점검
개봉동에서 개봉역과 개봉푸르지오아파트 생활권을 오가며 통학하는 고3 학생은 중학교 때보다 길어진 이동 시간과 과제량 때문에 문제를 빠르게 처리하려는 습관이 생겼다. 구로구 통학권의 경인고등학교, 구로고등학교, 우신고등학교, 신도림고등학교 등으로 진학을 준비하거나 재학 중인 학생에게도, 익숙한 공식부터 대입하기보다 함수의 밑과 합성 구조를 먼저 확인하는 연습이 필요하다.
분모에서 빠진 ln 2
학생은 다음 함수를 미분하는 과정에서 식을 즉시 적었다.
문제: \(f(x)=\log_2 x\)의 도함수를 구하여라. 단, \(x>0\).
학생의 풀이: \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
이 식은 오답이다. 밑이 \(e\)인 자연로그 \(\ln x\)의 미분 결과가 \(\frac1x\)이며, 밑이 2인 로그함수에는 밑에 따른 변환 계수 \(\ln2\)가 포함된다.
로그의 밑변환을 먼저 적용하면
\[ \log_2 x=\frac{\ln x}{\ln2} \]
이고 \(\ln2\)는 상수이므로
\[ f'(x)=\frac{1}{\ln2}\cdot\frac1x =\frac{1}{x\ln2} \]
가 정확한 답이다. 또한 \(x>0\)이라는 정의역 조건이 있어야 \(\log_2x\)와 그 미분이 실수 범위에서 성립한다. 밑 역시 \(2>0,\ 2\ne1\)을 만족하므로 주어진 함수는 정상적으로 정의된다.
합성 구조를 확인한 수정 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 “밑이 \(e\)인가?”를 확인했다. 밑이 2이므로 \(\ln2\)를 분모에 남겨야 한다는 점을 적고, 다음처럼 식을 교체했다.
- 오류 표시: \(\displaystyle \frac{d}{dx}\log_2x=\frac1x\)
- 밑변환: \(\displaystyle \log_2x=\frac{\ln x}{\ln2}\)
- 수정: \(\displaystyle \frac{d}{dx}\log_2x=\frac1{x\ln2}\)
- 대입 검산: \(x=1\)일 때 접선의 기울기는 \(\displaystyle \frac1{\ln2}\)이다.
이후 단순한 로그함수와 합성 로그함수를 구분했다. 예를 들어
\[ g(x)=\log_2(3x-1) \]
에서는 안쪽 함수 \(3x-1\)의 도함수 3까지 반영해야 하므로
\[ g'(x)=\frac{3}{(3x-1)\ln2} \]
이다. 정의역은 \(3x-1>0\), 즉 \(x>\frac13\)이다. 학생은 이전처럼 \(\frac1{(3x-1)\ln2}\)로 적지 않고, 바깥 로그의 미분과 안쪽 함수의 미분을 곱하는 구조를 표시했다.
밑과 합성식을 바꾼 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
검증 문제: \(\displaystyle h(x)=\log_5(2-x^2)\)의 도함수와 정의역을 구하여라.
로그의 진수가 양수여야 하므로
\[ 2-x^2>0 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt2<x<\sqrt2 \]
이다. 밑변환과 합성함수 미분을 함께 적용하면
\[ h(x)=\frac{\ln(2-x^2)}{\ln5} \]
이므로
\[ h'(x)=\frac1{\ln5}\cdot\frac{-2x}{2-x^2} =\frac{-2x}{(2-x^2)\ln5} \]
가 된다. 학생은 \(x=1\)을 대입해
\[ h'(1)=\frac{-2}{\ln5} \]
로 계산하고, \(x=1\)이 정의역 \((-\sqrt2,\sqrt2)\) 안에 있는지도 확인했다. 밑이 바뀌면 \(\ln5\)가 생기고, 진수가 \(2-x^2\)로 바뀌면 그 도함수 \(-2x\)가 추가된다는 관계를 스스로 검증한 것이다.