개봉동고1수학과외

개봉동고1수학과외, 괄호 속 공통인수까지 확인하는 인수분해

개봉역과 개봉푸르지오아파트 생활권에서 학교 과제와 이동 시간을 함께 관리해야 하는 고1 학생에게는 풀이를 길게 반복하기보다, 한 줄의 식을 끝까지 판정하는 습관이 중요하다. 인수분해에서는 앞부분을 묶었다는 사실만으로 풀이가 끝나지 않는다. 괄호 안의 항들 사이에 공통인수가 남아 있는지 확인해야 한다.

첫 두 항만 보고 멈춘 풀이

학교 프린트에서 다음 식을 인수분해하는 문제가 나왔다고 하자.

6x²y+9xy²-15xy

학생은 첫 두 항만 보고 3xy(2x+3y)-15xy라고 적은 뒤, 더 이상 모든 항을 한 번에 묶을 수 없다고 판단했다. 그러나 이 식은 세 항 모두에 3xy가 들어 있다.

따라서 정확한 인수분해는 다음과 같다.

6x²y+9xy²-15xy=3xy(2x+3y-5)

학생의 식도 전개하면 원래 식이 되지만, 공통인수를 일부만 묶은 중간 표현일 뿐이다. 특히 3xy(2x+3y)-15xy에서는 바깥으로 꺼낼 수 있는 공통인수 3xy가 마지막 항에 남아 있다.

공통인수는 항 전체를 비교해야 한다

각 항을 계수와 문자 부분으로 나누어 보면 판단이 분명해진다.

• 6x²y에는 3xy가 포함된다.
• 9xy²에도 3xy가 포함된다.
• 15xy에도 3xy가 포함된다.

그러므로 가장 큰 공통인수는 3xy이다. 괄호 안에는 각 항을 3xy로 나눈 결과인 2x, 3y, -5가 차례로 남는다. 마지막 상수항도 괄호 안에 정확히 들어가야 하며, 부호까지 함께 확인해야 한다.

인수분해가 끝났는지는 바깥에 무엇을 묶었는지가 아니라, 괄호 안에 남은 모든 항이 다시 공통인수로 묶이는지를 보고 결정한다.

답안에 남기는 짧은 근거

풀이를 수정할 때는 식만 고쳐 쓰지 않고 다음과 같이 판단의 근거를 남긴다.

6, 9, 15의 최대공약수는 3이고, 모든 항에 xy가 있으므로 3xy를 묶는다.

6x²y+9xy²-15xy=3xy(2x+3y-5)

이후 괄호 안의 2x, 3y, -5에는 공통으로 묶을 수 있는 문자나 수가 없으므로 여기서 인수분해를 마친다. 개봉동에서 귀가 후 시간이 짧은 날에도 이 한 줄의 근거를 적으면, 첫 두 항만 확인하고 넘어가는 행동을 스스로 막을 수 있다.

단위가 바뀐 표를 식으로 옮길 때

새 검증 문제에서는 표의 단위가 달라진 자료를 사용한다. 어떤 직사각형의 넓이가 가로 3a cm, 세로 4b cm일 때 넓이는 12ab cm²이다. 가로가 (a+2) cm, 세로가 3b cm인 부분을 더한 넓이가 다음처럼 주어졌다면, 단위를 m로 바꾸어 식을 정리할 수 있다.

300ab cm²+600ac cm²+900a cm²

모든 항을 같은 단위인 m²로 바꾸면 1 m²=10,000 cm²이므로

0.03ab+0.06ac+0.09a=0.03a(b+2c+3)

가 된다. 세 항 모두에 0.03a가 있으므로 첫 두 항만 묶어 0.03a(b+2c)+0.09a에서 멈추면 안 된다. 서술형 답안에는 단위를 m²로 통일했다는 조건, 위의 인수분해 식, 그리고 괄호 안에 공통인수가 남지 않아 인수분해를 마친다는 결론을 함께 적는다.

맞힌 뒤에도 시간이 오래 걸렸다면

변형 문제를 맞혔더라도 풀이 시간이 지나치게 길거나 괄호 안의 공통인수를 다시 세어 확인했다면 재확인 대상으로 표시한다. 다음 문제에서 교사의 질문 없이 모든 항의 계수와 문자를 먼저 훑고, 가장 큰 공통인수를 묶은 뒤, 괄호 안을 다시 검사하는 순서가 자연스럽게 나오는지 본다. 식과 조건과 결론을 빠짐없이 남겼는지도 함께 확인해야 한다.