광진구고2수학과외

광진구고2수학과외, 로그의 결과보다 먼저 확인할 것

광장동과 구의동처럼 학교와 주거지가 이어진 생활권에서는 귀가 뒤 학교 프린트와 수행평가 문제를 짧은 시간에 정리해야 하는 경우가 많다. 이때 로그 문제를 계산 결과만 빠르게 적으면, 정의와 지수식의 연결이 끊긴 채 답을 쓰게 된다.

log₂8=3에서 반드시 되돌아가야 하는 식

로그의 정의는 다음과 같다.

log_ab=c ⇔ a^c=b

단, 이 관계를 사용할 때는 a>0, a≠1, b>0이어야 한다. 예를 들어

log₂8=3

은 단순히 “답이 3”이라는 계산 결과가 아니라

2³=8

이라는 지수식과 같은 명제다. 풀이에서 로그를 보자마자 3만 적고 지수식으로 확인하지 못했다면, 로그와 지수의 역관계를 아직 문제 속에서 적용하지 못한 것이다.

조건을 빠뜨린 풀이가 왜 위험한가

다음 식을 살펴보자.

log₂(x-1)=3

로그의 정의를 적용하면

2³=x-1

8=x-1, x=9

가 된다. 여기서 밑 2는 0보다 크고 1이 아니며, 진수 x-1은 해 x=9에서 8이므로 양수다. 따라서 x=9는 허용된다.

반대로 log₂(x-1)=−1이라면

2⁻¹=x-1, 따라서 x=3/2

이다. 음의 지수라고 해서 진수가 음수가 되는 것은 아니다. 실제로 2⁻¹=1/2>0이므로 정의조건을 만족한다. 로그의 결과를 먼저 계산하려고 하면 이런 관계를 놓치기 쉽다.

답안에 남길 세 줄

문제를 풀 때는 로그식을 보자마자 다음 순서를 답안에 남긴다.

1. 밑과 진수의 조건을 확인한다.
2. log_ab=c를 a^c=b로 옮긴다.
3. 구한 값을 원래 진수에 대입해 양수인지 확인한다.

예를 들어 log₃(2x+1)=2는

3²=2x+1 → 9=2x+1 → x=4

이고, 진수는 2·4+1=9>0이다. 로그식에서 지수식으로 옮긴 뒤에도 원래 식의 진수와 밑이 보존되었는지 확인해야 한다.

표로 바꾼 조건에서도 같은 기준을 옮기는가

마지막에는 다음 표의 빈칸을 식으로 채워 보며 확인한다.

표의 로그식을 지수식으로 옮길 때 밑을 그대로 유지하고, 로그의 결과를 지수로 보내는지 확인한다. 광진구의 학교 프린트에서 숫자나 밑이 달라져도 이 기준을 먼저 적을 수 있어야 새로운 조건에 맞춘 풀이가 완성된다.