광진구고1수학과외

광진구고1수학과외, 공통인수를 먼저 묶을 식 판별하기

광남고등학교나 자양고등학교처럼 학교 과제와 이동 시간이 함께 늘어나는 광진구의 고1 학생에게는 풀이를 시작하는 첫 판단이 중요하다. 식을 보자마자 인수분해 공식을 떠올리기보다, 모든 항에 들어 있는 공통인수부터 확인해야 하는 식인지 구별해야 한다.

첫 두 항만 보고 묶은 식

6x²y + 9xy² = 3x(2xy + 3y²)

위 식은 학생이 실제로 적은 오답이다. 첫 두 항의 계수 6과 9에서 3을 찾고, 문자 x만 묶은 뒤 멈췄다. 그러나 두 항 모두에 y도 포함되어 있으므로 가장 큰 공통인수는 3xy이다.

모든 항을 확인하면

6x²y + 9xy² = 3xy(2x + 3y)

가 된다. 전개하면 3xy·2x = 6x²y, 3xy·3y = 9xy²이므로 원래 식과 일치한다. 학생의 식도 전개하면 원래 식과 같지만, 괄호 안에 다시 y가 남아 있어 공통인수를 가장 크게 묶은 결과는 아니다.

공통인수 여부를 판단하는 기준

항이 두 개라서 무조건 공통인수를 찾는 것이 아니다. 각 항의 계수와 문자 부분을 끝까지 비교해야 한다.

• 8a²b와 12ab²의 계수 공약수는 4이다.
• 두 항 모두 a와 b를 포함하므로 문자 공통부분은 ab이다.
• 따라서 8a²b + 12ab² = 4ab(2a + 3b)이다.

반대로 5x² + 7y처럼 문자 부분이 서로 다르고 계수의 공약수도 1이면, 1 이외의 공통인수를 먼저 묶을 수 없다. 이 식을 억지로 x나 y로 묶는 것은 각 항에 해당 문자가 모두 있다는 조건을 무시한 것이다.

여백에 남길 확인 흔적

풀이를 시작하기 전 식의 각 항 아래에 계수와 문자를 짧게 표시한다. 예를 들어 15m²n - 20mn²에서는 계수 15, 20의 최대공약수 5를 확인하고, 두 항에 공통으로 있는 문자가 mn임을 표시한다.

그러면

15m²n - 20mn² = 5mn(3m - 4n)

으로 정리된다. 특히 두 번째 항의 음수까지 포함해 5mn을 묶어야 괄호 안이 3m - 4n으로 유지된다. 광장동이나 구의동에서 귀가 후 짧은 시간에 학교 프린트를 풀 때도, 이처럼 계수와 문자 부분을 한 줄에 표시하면 첫 두 항만 보고 멈추는 오류를 줄일 수 있다.

오류가 난 줄을 다시 찾는 방법

연습의 기준은 정답을 맞혔는지가 아니라 공통인수를 결정한 줄이다. 18p³q + 24p²q²에서 6p²만 묶었다면, 계수와 p는 충분히 확인했지만 두 항에 공통인 q를 빠뜨린 것이다.

정확한 정리는

18p³q + 24p²q² = 6p²q(3p + 4q)

이다. 수정할 때는 같은 식을 즉시 반복하지 않고 계수와 문자를 바꾼 14r²s - 21rs²를 사용한다. 모든 항을 훑어 최대 공통인수 7rs를 찾고, 7rs(2r - 3s)까지 적는지 확인한다.

문자 순서를 바꾼 확인 문제

마지막에는 식의 모양만 바꾼 문제를 제시한다.

2x + 3y = 6 위의 점으로 (0, 2)를 제시했을 때, x와 y의 순서를 먼저 확인한다. x=0, y=2를 대입하면 2·0 + 3·2 = 6이므로 점은 조건을 만족한다. 순서를 바꾸어 x=2, y=0으로 읽으면 2·2 + 3·0 = 4가 되어 식 위의 점이 아니다.

이 확인에서 학생이 계수와 문자를 항마다 다시 살피고, x좌표·y좌표를 구분해 점의 위치로 검산한다면 이전에 빠뜨린 확인 행동이 실제로 유지된 것이다.