광진구 고3수학과외에서 다룬 지수함수 미분의 기준 세우기
광장동과 구의동, 자양동 등에서 통학과 과제 시간을 함께 관리하던 한 고3 학생은 풀이 속도는 빠른 편이었지만, 지수함수의 밑과 지수의 구조를 확인하지 않고 익숙한 거듭제곱 공식을 적용하는 실수가 반복됐다. 특히 이동 후 짧은 시간에 문제를 풀 때 이 오류가 답안 첫 줄에서 바로 나타났다.
첫 줄에서 드러난 공식 혼동
오답: \(\displaystyle \frac{d}{dx}(e^x)=xe^{x-1}\)
이 식은 틀렸다. \(xe^{x-1}\)은 \(x^n\)을 미분할 때의 거듭제곱 미분 형태를 지수함수 \(e^x\)에 잘못 적용한 결과다. \(e^x\)에서는 지수 \(x\)가 밑이 아니라 지수 자리에 있으므로, 미분해도 앞에 \(x\)가 곱해지지 않는다.
정의에서 출발하면
\[ \frac{d}{dx}e^x =\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} =e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h} =e^x \]
이다. 따라서 기본식은 \(\displaystyle (e^x)'=e^x\)이며, 합성식에서는 안쪽 함수의 미분이 추가된다.
변수와 합성 구조를 다시 확인한 풀이
학생은 다음 함수를 재풀이했다.
\[ f(x)=e^{2x-1} \]
처음에는 \(x e^{2x-2}\)라고 적었지만, 틀린 줄에 표시한 뒤 밑이 \(e\)인지, 지수가 \(2x-1\)이라는 합성식인지 확인했다.
- 바깥 함수: \(e^u\), 미분 결과는 \(e^u\)
- 안쪽 함수: \(u=2x-1\), 미분 결과는 \(u'=2\)
그러므로 식을 다음과 같이 고쳤다.
\[ f'(x)=e^{2x-1}\cdot2=2e^{2x-1} \]
\(x=1\)을 대입하면 원래 함수의 값은 \(f(1)=e\), 수정한 도함수의 값은 \(f'(1)=2e\)이다. 반면 오답식은 \(e\)가 되어 합성식 \(2x-1\)의 변화율 2를 반영하지 못한다. 학생은 이 대입 검산으로 단순히 공식을 외우는 대신, 안쪽 변수의 변화가 도함수에 포함되는지 확인했다.
\(a^x\)에서 달라지는 부분
밑이 \(e\)가 아닌 지수함수는 같은 방식으로 처리할 수 있지만 결과가 다르다. \(a>0,\ a\ne1\)일 때
\[ a^x=e^{x\ln a} \]
이므로
\[ \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a \]
이다. \(a=e\)인 경우에만 \(\ln e=1\)이 되어 \((e^x)'=e^x\)로 간단해진다. 학생은 \(a^x\)의 미분을 \(xe^{x-1}\)로 쓰는 대신, 밑과 지수의 위치를 먼저 표시하고 \(\ln a\)가 필요한지 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않기 위해 다음 식을 해설 없이 풀었다.
\[ g(x)=3^{\,x^2-2x} \]
학생이 먼저 \(u=x^2-2x\)로 두면
\[ g'(x)=3^{x^2-2x}\ln3\,(2x-2) \]
이다. \(x=2\)에서 \(u=0\)이므로
\[ g'(2)=3^0\ln3\cdot2=2\ln3 \]
가 된다. 밑이 \(e\)에서 3으로 바뀌었고 지수도 \(x\)에서 \(x^2-2x\)로 바뀌었지만, 바깥 지수함수의 미분과 안쪽 함수의 미분을 곱한다는 구조는 유지된다. 이 검증을 통해 학생은 잘못된 후보 \( (x^2-2x)3^{x^2-2x-1}\)를 스스로 제거하고, 밑에 따른 \(\ln3\)과 합성식의 도함수 \(2x-2\)를 모두 반영했다.