중곡동고2수학과외

중곡동 고2수학과외, 곱과 몫의 로그는 조건부터 확인합니다

중곡동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마치고 확보한 자습 시간에는 로그식을 빠르게 계산하는 것보다, 그 계산이 성립하는지 먼저 판단하는 연습이 필요합니다. 대원고등학교·대원여자고등학교·대원외국어고등학교가 있는 지역이지만, 학교별 자료를 단정하기보다 실제 풀이에서 드러난 식의 사용 과정을 기준으로 점검합니다.

log₂3+log₂5를 log₂8로 바꾼 이유

학생의 풀이 여백에는 다음과 같은 식이 남아 있었습니다.

log₂3+log₂5=log₂8

이 계산은 밑이 같다는 점만 보고 진수 3과 5를 더한 오류입니다. 로그의 곱셈 법칙은 진수를 더하는 법칙이 아니라 곱하는 법칙입니다.

log_aM+log_aN=log_a(MN)

따라서

log₂3+log₂5=log₂(3×5)=log₂15

입니다. 여기서 법칙을 사용할 수 있으려면 밑에 대해 a>0, a≠1, 진수에 대해 M>0, N>0이어야 합니다. 이 문제에서는 2>0, 2≠1이고 3과 5도 양수이므로 변형이 가능합니다.

몫의 로그에서는 진수의 나눗셈을 확인하기

같은 원리는 뺄셈에도 적용됩니다.

log_aM−log_aN=log_a(M/N)

예를 들어

log₃20−log₃4=log₃(20/4)=log₃5

입니다. 학생이 이 식을 log₃16으로 적었다면, 뺄셈을 진수의 뺄셈으로 읽은 것입니다. 그러나 몫의 로그는 두 진수의 비를 뜻하므로 20−4가 아니라 20÷4를 계산해야 합니다. 또한 20과 4가 양수이므로 로그가 정의됩니다.

기호의 뜻을 말한 뒤 한 줄만 고쳐 쓰기

훈련에서는 긴 설명보다 기호의 의미를 먼저 말하게 합니다.

“같은 밑의 로그를 더하면 진수의 곱으로 합칠 수 있다.”

이 말을 한 뒤 학생이 다음처럼 한 줄을 작성합니다.

log₂3+log₂5=log₂(3×5)=log₂15

몫의 경우에는 “같은 밑의 로그를 빼면 진수의 몫으로 합칠 수 있다.”라고 말하고 다음을 적습니다.

log₃20−log₃4=log₃(20÷4)=log₃5

이때 밑 조건과 진수 조건을 식 옆에 짧게 표시합니다.

2>0, 2≠1, 3>0, 5>0

조건을 확인하지 않은 채 법칙부터 적용하면, 진수가 음수이거나 0인 식에도 같은 변형을 적용하게 됩니다. 곱과 몫의 법칙은 모양만 비슷하다고 사용하는 공식이 아니라, 로그가 실제로 정의되는 범위 안에서만 성립합니다.

결과에서 조건을 거꾸로 찾는 문제

다음 식을 독립적으로 판단합니다.

log_a(x+2)−log_a(x−1)=log_a2

먼저 세 로그가 정의되려면

a>0, a≠1, x+2>0, x−1>0

이어야 합니다. 따라서 x>1입니다. 몫의 로그 법칙을 적용하면

log_a((x+2)/(x−1))=log_a2

같은 밑의 로그값이 같으므로

(x+2)/(x−1)=2

이고,

x+2=2x−2 → x=4

입니다. 마지막으로 x=4를 조건 x>1에 대입하면 허용됩니다. 따라서 해는 x=4입니다.

이 문제에서 확인할 것은 정답 숫자만이 아닙니다. 결과식에서 원래 로그의 진수인 x+2와 x−1을 되짚어 각각 양수인지 확인하고, 밑 a의 조건까지 유지해야 곱과 몫의 로그 법칙을 올바르게 적용한 풀이가 됩니다.