중곡동고1수학과외, 공통부분을 치환해 인수분해하는 판단
두 문자식이 반복될 때 각각의 문자를 따로 보지 않고, 반복되는 식 전체를 하나의 문자처럼 바꾸어야 인수분해의 구조가 선명해진다. 예를 들어
(2x-y)2+(2x-y)-12
에서는 2x-y가 세 항에 걸쳐 반복된다. 이 식을 바로 전개하기보다 t=2x-y로 놓으면
t2+t-12=(t+4)(t-3)
이고, 다시 원래 식으로 돌아가면
(2x-y+4)(2x-y-3)
이 된다.
답은 맞았지만 공통부분을 본 흔적이 없는 경우
중곡동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 정리하던 학생의 답안에는 위 식의 최종 답만 적혀 있었다. 풀이에는 2x-y를 하나의 문자로 본다는 표시가 없었고, 답을 얻은 순간 계산을 끝냈다. 혼자 풀 때도 공통부분을 먼저 묶어 보는 말이나 기호가 나오지 않았다.
이 상태에서는 숫자를 바꾸면 구조를 놓칠 수 있다. 예를 들어
(3a+2b)2-5(3a+2b)+6
에서 학생이 3a와 2b를 따로 처리하면, 두 항의 반복 관계가 사라진다. 그러나 u=3a+2b로 두면
u2-5u+6=(u-2)(u-3)
이므로 결과는 (3a+2b-2)(3a+2b-3)이다.
인수분해 전에 한 줄로 고정할 대상
풀이 첫 줄에 반복되는 식을 표시한다.
u=3a+2b
그 다음 원래 식을 u에 관한 이차식으로 옮긴다.
u2-5u+6
여기서 두 수의 곱이 6이고 합이 -5이므로 -2와 -3을 선택한다. 마지막으로 u를 3a+2b로 되돌린다. 이 과정을 거치면 문자식 안의 부호도 함께 보존된다.
검산은 두 인수를 다시 곱하는 방식으로 한다.
(3a+2b-2)(3a+2b-3)=(3a+2b)2-5(3a+2b)+6
따라서 원래 식과 일치한다. 단순히 같은 답을 다시 적는 대신, 공통부분의 치환과 복원이 모두 있었는지를 확인해야 한다.
표현이 달라져도 같은 부분을 먼저 찾기
새 문제에서는 다음 식을 제시한다.
(p-q)2+2(p-q)-15
학생이 가장 먼저 v=p-q라고 적는지 본다. 그러면
v2+2v-15=(v+5)(v-3)
이므로 답은 (p-q+5)(p-q-3)이다.
검증표의 제목이 ‘v의 값에 따른 원식의 값’이라면 제목을 먼저 읽고, v가 전체 공통부분을 뜻한다는 관계를 확인한다. 예를 들어 v=3일 때 원식은 9+6-15=0이고, 인수식도 (3+5)(3-3)=0이다. v=-5일 때도 25-10-15=0이며, (v+5)(v-3)=0이다. 표의 각 값에서 공통부분을 하나의 값으로 취급하는지 확인할 수 있다.
학교 프린트와 수행평가에 연결하는 확인 방식
대원고등학교, 대원여자고등학교, 대원외국어고등학교 등 중곡동 지역 학교의 학습 자료를 정리할 때는 문제의 숫자보다 반복되는 문자식을 표시하는 풀이 흔적을 남기는 것이 유용하다. 같은 광진구의 광남고등학교와 건국대학교사범대학부속고등학교는 참고 학교일 뿐 중곡동 소재 학교와 구분해야 한다.
수행평가나 지필 문항에서 식의 모양이 달라져도 학생이 공통부분 설정 → 한 문자식으로 인수분해 → 원래 식으로 복원 → 전개 검산을 스스로 이어 가는지 기록한다. 정답을 기억하는 변형 문제를 반복하지 않고, 계수와 부호를 바꾼 식에서 첫 줄의 판단부터 확인해야 실제 적용 여부를 알 수 있다.