중곡동 고3 수학과외에서 점검한 ln 함수의 미분
중곡동에서 대원고등학교, 대원여자고등학교, 대원외국어고등학교로 통학한 뒤 방과후 자습을 이어 가는 학생은 짧은 시간에 미분 문제를 처리하려다 공식의 적용 조건을 생략하는 경우가 있었다. 특히 귀가 전 자습시간에 풀이를 다시 확인하면서 계산보다 먼저 정의역과 함수 구조를 적는 습관을 만들었다.
공식 암기보다 먼저 확인한 한 줄
학생은 다음과 같이 적었다.
\(\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{\ln x}{x}\)
이 식은 틀렸다. \(\ln x\)를 미분할 때 \(\ln x\)가 분자로 남는 것이 아니라, 기본 미분 공식에 따라
\(\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}\quad(x>0)\)
이다. 학생의 오답은 정의역 \(x>0\)을 확인하지 않은 채, 원래 함수를 미분 결과에 다시 곱한 데서 생겼다. \(\ln x\)는 실수 범위에서 \(x>0\)일 때만 정의되므로 공식과 조건을 함께 기억해야 한다.
합성식에서는 안쪽 함수의 변화율까지 연결하기
다음 문제를 다시 풀었다.
\(f(x)=\ln(2x-1)\)의 도함수와 정의역을 구하여라.
먼저 로그의 안쪽 식이 양수여야 하므로
\(2x-1>0\), 따라서 \(x>\dfrac12\)
이다. \(u=2x-1\)로 두면 \(\dfrac{du}{dx}=2\)이고, 연쇄법칙에 따라
\(f'(x)=\dfrac{1}{2x-1}\cdot2=\dfrac{2}{2x-1}\)
이 된다. 학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 로그 안쪽의 \(2x-1\)과 그 미분값 2를 따로 표시했다. 이후 \(x=1\)을 대입해 원함수의 변화율을 확인하면 \(f'(1)=2\)이다. 잘못된 방식이라면 \(\ln(1)/1=0\)이 되어 실제 변화율과 맞지 않으므로, 대입 검산에서도 오답임을 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 함수와 계수를 바꾸어 다음 문제를 해설 없이 풀었다.
\(g(x)=\ln(5-3x)\)의 정의역과 \(g'(\frac13)\)을 구하여라.
로그의 조건은 \(5-3x>0\)이므로 정의역은 \(x<\dfrac53\)이다. 합성함수 미분을 적용하면
\(g'(x)=\dfrac{-3}{5-3x}\)
이고, \(x=\dfrac13\)을 대입하면
\(g'\left(\dfrac13\right)=\dfrac{-3}{4} \)
이다. 새 문제에서는 안쪽 식의 부호와 음의 계수를 함께 확인했기 때문에 \(\ln x/x\)라는 잘못된 후보를 스스로 제외할 수 있었다.