능동고2수학과외

능동고2수학과외, 로그법칙을 쓰기 전 밑 조건을 확인하는 풀이

능동의 선화예술고등학교처럼 학교 일정과 이동 시간이 학생마다 다를 수 있는 환경에서는 짧은 풀이를 하더라도 조건을 적는 습관이 중요하다. 같은 광진구의 광남고등학교, 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교 등 참고 학교와 생활 리듬이 다를 수 있지만, 로그 문제에서 풀이를 가르는 지점은 계산 속도보다 밑과 진수의 범위를 확인했는지에 있다.

log_x4를 보자마자 법칙만 적용한 풀이

다음 식을 풀어 보자.

log_x4 + log_x2 = 3

풀이 중 학생이 다음과 같이 적었다.

log_x4 = 2log_x2
3log_x2 = 3
log_x2 = 1
x = 2

계산 결과는 맞지만, 첫 줄에 로그의 조건이 빠져 있다. log_x4를 실수 범위에서 정의하려면

x > 0, x ≠ 1, 4 > 0

이어야 한다. 진수 4와 2는 양수이므로 진수 조건은 자동으로 만족하지만, 밑 x의 조건은 반드시 남겨야 한다. 또한

log_x4 = log_x(2²) = 2log_x2

라는 법칙도 밑이 로그의 정의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다. 따라서

3log_x2 = 3 → log_x2 = 1 → x = 2¹ = 2

이고, x=2는 x>0, x≠1을 모두 만족한다. 마지막에 조건을 대입해 확인했기 때문에 답은 x=2이다.

오답 줄에서 하나의 항목만 다시 확인하기

이 유형에서 풀이를 전부 다시 베끼기보다, 이번에는 오류 유형을 조건으로 정하고 조건만 표시한다.

log_x4가 보이면 식 옆에 먼저

밑: x>0, x≠1 / 진수: 4>0

을 적는다. 그 뒤에 log_x4=2log_x2를 적용한다. 이렇게 하면 법칙 적용 줄과 조건 확인 줄이 분리되어, 계산이 맞더라도 정의역 밖의 값을 답으로 남기는 실수를 줄일 수 있다. 특히 x=1은 log₁4가 정의되지 않으므로 후보가 될 수 없다.

밑이 식으로 바뀐 문제에서 조건을 혼자 세우기

조건을 적은 원래 풀이를 옆에 두지 않고 다음 식을 새로 제시한다.

log_x−19 + log_x−13 = 3

먼저 밑 조건은

x−1>0, x−1≠1

이므로 x>1, x≠2이다. 진수 9와 3은 양수다. 이제 9=3²이므로

log_x−19 + log_x−13
= 2log_x−13 + log_x−13
= 3log_x−13 = 3

따라서 log_x−13=1이고, x−1=3이므로 x=4이다. x=4는 x>1, x≠2를 만족한다. 새 문제에서도 밑 조건을 먼저 적고 로그법칙을 적용했다면, 변형된 밑에서도 같은 판단을 유지한 것이다.