능동고1수학과외: ac와 b로 가운데항 나누기
선화예술고등학교 프린트를 풀던 학생의 풀이에는 6x²+11x+3에서 멈춘 흔적이 남아 있었다. 학생은 ac=18까지 계산했지만, 18을 만드는 두 수를 따로 적지 않고 곧바로 다음 줄에 넘어갔다. 이때 필요한 것은 인수분해 공식을 외우는 일이 아니라, 가운데항 11x를 어떤 두 항으로 분리해야 하는지 결정하는 기준이다.
ac를 계산한 다음 바로 인수분해하지 않는 이유
ax²+bx+c에서 가운데항을 나눌 두 수를 m, n이라고 하면 반드시 다음 두 조건을 동시에 만족해야 한다.
m×n=ac, m+n=b
따라서 6x²+11x+3에서는 a=6, b=11, c=3이므로 ac=18이다. 곱이 18이고 합이 11인 두 수는 2와 9이다. 그러므로 11x를 2x와 9x로 나눈다.
6x²+11x+3
=6x²+2x+9x+3
=2x(3x+1)+3(3x+1)
=(2x+3)(3x+1)
곱만 18인 후보를 고르면 안 된다. 3과 6도 곱은 18이지만 합은 9이므로 가운데항 11x를 만들 수 없다.
학생의 빈칸은 계산보다 ‘후보 선택 근거’에서 생겼다
이 학생은 ac를 구하는 계산 자체는 수행했지만, 곱이 ac이고 합이 b인 두 수라는 판단 기준을 답안에 남기지 않았다. 그래서 6x²+11x+3을 6x²+2x+9x+3으로 바꾸는 연결이 끊겼다. 현재 상태는 인수분해를 전혀 모르는 단계라기보다, ac 계산 이후의 수 선택 절차가 아직 고정되지 않은 상태로 볼 수 있다.
ac=18, 합이 b=11이 되는 두 수는 2와 9이다.
따라서 11x=2x+9x로 나눈다.
이 두 줄을 먼저 적으면 가운데항 분리는 임의의 추측이 아니라 조건에 따른 결정이 된다. 음수인 경우에도 같은 기준을 적용한다. 예를 들어 3x²-11x-4에서는 ac=-12이고, 곱이 -12이면서 합이 -11인 두 수는 -12와 1이다.
3x²-11x-4
=3x²-12x+x-4
=3x(x-4)+1(x-4)
=(3x+1)(x-4)
부호가 다른 두 수의 곱이 음수라는 점보다도, 실제로 합이 -11인지 확인해야 한다.
식·근거·결론을 한 묶음으로 남기기
학교에서 귀가한 뒤 확보되는 시간이 짧은 날에는 긴 문제 풀이보다 다음 형식으로 한 문제의 판단을 기록하는 편이 적절하다.
- 식: a, b, c와 ac를 적는다.
- 근거: 곱이 ac이고 합이 b인 두 수를 찾는다.
- 결론: bx를 두 항으로 나눈 뒤 공통인수를 묶는다.
예를 들어 4x²+13x+9라면 ac=36, 곱이 36이고 합이 13인 수는 4와 9이다.
4x²+13x+9=4x²+4x+9x+9
=4x(x+1)+9(x+1)
=(4x+9)(x+1)
이처럼 마지막 인수분해 결과만 적지 않고, 13x를 4x+9x로 나눈 이유까지 남겨야 서술형 답안의 근거가 완성된다.
표현이 달라져도 같은 판단을 찾는지 확인하기
검증 문제는 다음과 같이 제시한다.
“문제지 17번에 있는 식 2x²+7x+3을 인수분해하시오. 풀이 공간 옆에 인쇄된 숫자 14는 문제 번호와 관계없는 안내 숫자이다.”
학생이 14를 ac 계산에 포함하지 않고 식의 계수만 읽는지 먼저 본다. a=2, b=7, c=3이므로 ac=6이다. 곱이 6이고 합이 7인 두 수는 1과 6이므로 7x=x+6x로 분리한다.
2x²+7x+3
=2x²+x+6x+3
=x(2x+1)+3(2x+1)
=(x+3)(2x+1)
마지막에는 (x+3)(2x+1)을 전개해 2x²+7x+3이 되는지 확인한다. 식, 두 수를 선택한 근거, 인수분해 결론을 학생이 스스로 연결하면 새로운 표현에서도 가운데항 분리 기준을 적용한 것으로 판단할 수 있다.
생활 리듬에 맞춘 짧은 확인
능동의 선화예술고등학교와 광진구 내 참고 학교인 광남고등학교, 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교, 동국대학교사범대학부속가람고등학교는 서로 다른 학교이며, 참고 학교를 능동 소재 학교로 볼 수는 없다. 학교와 주거지 사이 이동 시간도 학생마다 다르므로, 확보된 시간에 따라 ac·b·두 수의 곱과 합을 적는 문제를 한두 개씩 점검한다.
같은 문제를 다시 맞히는 데서 끝내지 않고, 학교 프린트와 문제집처럼 표현이 달라진 식에서 불필요한 숫자를 제외하고 계수만 골라내는지 확인한다. 그 뒤 식·근거·결론이 모두 남아 있으면 가운데항을 나누는 기준을 실제 문제에 적용한 것이다.