능동고3수학과외

능동 고3 수학과외에서 찾은 첫 오류: a^x 미분의 밑과 계수 구분

능동의 선화예술고등학교 학생은 예술 활동 일정에 따라 공부 가능한 시간이 달라, 긴 계산보다 풀이의 첫 판단을 확인하는 방식으로 학습하고 있다. 같은 광진구의 광남고등학교, 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교, 동국대학교사범대학부속가람고등학교는 참고 학교이며 능동 소재 학교로 단정하지 않는다.

마지막 답이 아니라 변형된 첫 줄 찾기

문제는 함수 f(x)=3^2x-1의 도함수를 구하는 것이었다. 학생은 다음과 같이 계산했다.

f′(x)=2×3^2x-1

=6^2x-1

첫째 줄의 2×3^2x-1은 연쇄법칙을 적용한 올바른 식이다. 그러나 다음 줄에서 계수 2와 밑 3을 합쳐 6^2x-1로 바꾼 것은 틀렸다. 2는 지수함수의 미분에서 생긴 계수이고, 3은 함수의 밑이므로 서로 곱해 밑을 바꿀 수 없다.

정확한 결과는

f′(x)=2·3^2x-1ln 3

이다. 일반적으로 a>0, a≠1일 때

미분: d/dx(a^u(x))=a^u(x)ln a·u′(x)

가 성립한다. 따라서 a를 계수처럼 앞으로 내리는 것이 아니라, ln a가 곱해져야 한다.

밑줄 표시와 경계값 대입으로 수정하기

학생은 오답에서 식이 달라진 첫 줄에 밑줄을 긋고, 변수와 조건을 분리해 확인했다.

• 밑: 3, 지수: 2x−1, 지수의 미분: 2
• 정의 조건: a>0, a≠1
• 수정: 2×3^2x−1를 2·ln3·3^2x−1로 변경

경계값도 직접 대입했다. a=1이면 1^x=1은 상수함수이므로 도함수는 0이다. 그런데 일반식을 그대로 쓰면 1^xln1=0이 되어 결과는 맞지만, 밑이 1인 경우를 지수함수의 변화율이라는 관점에서 별도로 확인해야 한다. 또 a=0은 음의 지수에서 정의되지 않을 수 있으므로 허용 조건에서 제외한다.

마지막으로 x=1을 대입해 원식과 수정식을 비교했다.

f′(1)=2·3¹ln3=6ln3

오답식 6¹=6

6ln3≠6이므로 오답식이 단순한 표기 차이가 아니라 실제로 다른 값임을 확인했다. 이렇게 틀린 줄을 먼저 찾은 뒤 식을 고치고, 특정 값을 대입해 역검산하는 순서를 반복했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 유형을 그대로 반복하지 않고, 함수와 지수를 바꾸어 g(x)=5^−3x+2를 검증했다. 밑은 5, 지수는 u(x)=−3x+2이므로 u′(x)=−3이다.

g′(x)=5^−3x+2ln5·(−3)

=−3ln5·5^−3x+2

학생이 밑 5를 계수처럼 내리면 −15·5^−3x+2가 되지만, 이는 −3ln5·5^−3x+2와 다르다. x=0을 대입하면 올바른 도함수는 −3ln5·25이고, 잘못된 식은 −15·25이므로 두 값이 일치하지 않는다.

이제 학생은 정답만 확인하지 않고 정의역 조건 표시 → 지수의 미분 → ln a 확인 → 숫자 대입의 순서로 a^x 미분의 최초 오류를 찾아 수정하고 있다.