군자동고2수학과외, 로그의 밑과 진수 조건을 식보다 먼저 판별하기
군자동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 광남고·자양고·대원고 등 광진구 내 학교를 통학권 참고 자료로만 살펴볼 수 있다. 학교와 주거지 사이 이동 시간이 서로 다른 만큼, 풀이 연습도 학생의 실제 학습 가능 시간에 맞춰 한 문제의 조건을 정확히 남기는 방식으로 진행한다.
logx4에서 빠진 두 조건
수업 중 다음 식을 이용해 로그법칙을 적용하는 문제가 나왔다.
logx4 + logx9 = logx36
학생은 로그의 곱셈 법칙 자체는 알고 있어 우변을 만들었지만, 풀이 여백에는 밑의 조건을 적지 않았다. 오답표에도 logx4를 보고 곧바로 계산만 기록했다.
그러나 실수 범위의 로그가 정의되려면 밑에 대해
x > 0, x ≠ 1
이 성립해야 한다. 또한 진수 4와 9, 36은 모두 양수이므로 진수 조건은 충족된다. 따라서 이 식에서 확인할 조건은 단순히 “로그법칙을 쓸 수 있는가”가 아니라, 밑과 각 진수가 로그의 정의 범위에 들어오는가이다.
풀이가 끊긴 지점에서 조건을 삽입하기
처음부터 문제 전체를 다시 쓰게 하지 않고, logx4를 읽은 바로 그 위치에서 풀이를 이어 가게 했다.
logx4: x > 0, x ≠ 1, 4 > 0
이후에야
logx4 + logx9 = logx(4×9) = logx36
이라고 적는다. 이 한 줄은 계산을 반복하는 훈련이 아니라, 로그식이 등장한 순간 정의 조건을 여백에 남기는 행동을 고정하는 훈련이다. 밑을 문자로 둔 식에서는 x=0이나 x=1을 밑으로 사용할 수 없으므로, 조건을 생략하면 식의 성립 범위를 판단할 수 없다.
결과에서 조건을 거꾸로 찾는 확인
마지막에는 식을 계산하는 대신 다음과 같이 역문제를 제시한다.
loga16 = 4가 실수 범위에서 의미 있을 때, a가 만족해야 할 조건을 결과에서 찾아라.
학생이 먼저 적어야 할 내용은
a > 0, a ≠ 1, 16 > 0
이다. 실제 값까지 구하면 a4=16이므로 양의 밑 조건에 따라 a=2가 가능하지만, 이 문제의 확인 대상은 계산 결과보다 앞서 a > 0, a ≠ 1을 되짚어 적는지 여부다. 조건을 기록한 뒤 로그법칙을 사용한다면, 밑과 진수의 성립 범위를 빠뜨리지 않고 새로운 문자에도 적용한 것으로 판단할 수 있다.