군자동고1수학과외: 곱과 합을 함께 맞추는 인수분해 판단
x²+bx+c의 인수분해에서 상수항 c만 보고 두 수를 고르면 가운데항의 계수 b를 재현하지 못할 수 있다. 군자동고1수학과외에서는 학교 프린트의 풀이를 따라 쓰는 데서 멈추지 않고, 두 조건을 실제로 계산해 확인하는 과정을 중심에 둔다.
상수항의 곱만 맞춘 풀이가 멈춘 지점
예를 들어 x²+7x+12를 인수분해할 때 한 학생은 12의 인수쌍인 3과 4를 찾은 뒤 곧바로 (x+3)(x+4)를 적었다. 이 식은 맞는 풀이지만, 학생의 오답 장면에서는 x²+5x+12에 대해서도 같은 방식으로 (x+3)(x+4)를 적었다.
그런데 (x+3)(x+4)=x²+7x+12이므로 가운데항은 5x가 아니라 7x이다. 곱 조건인 3×4=12만 확인하고 합 조건인 3+4=7을 확인하지 않은 것이 오류의 위치다.
두 수는 곱과 합을 동시에 만족해야 한다
x²+bx+c=(x+p)(x+q)로 전개하면
p+q=b, pq=c
가 된다. 따라서 c=12, b=5인 식에서는 12를 만드는 정수쌍을 먼저 살펴보되, 합이 5인지까지 확인해야 한다. 양의 정수쌍은 1과 12, 2와 6, 3과 4인데, 합은 각각 13, 8, 7이므로 합이 5인 쌍은 없다. 따라서 x²+5x+12는 정수 범위에서 이 방식으로 인수분해되지 않는다.
반대로 x²-5x+6에서는 곱이 6이고 합이 -5인 두 수가 -2와 -3이다. 그러므로
x²-5x+6=(x-2)(x-3)
이며, 전개했을 때 가운데항은 -3x-2x=-5x가 된다. 부호까지 포함한 합을 확인해야 하는 이유가 여기에 있다.
풀이 줄 옆에 남기는 짧은 계산
훈련할 때는 후보를 고른 뒤 인수만 바로 쓰지 않고 다음처럼 옆에 표시한다.
- c=18인 x²+11x+18: 후보 2, 9
- 곱: 2×9=18
- 합: 2+9=11
- 결론: (x+2)(x+9)
학생이 곱과 합을 각각 적은 뒤에만 인수를 작성하도록 하면, 상수항에 맞는 후보를 찾고도 가운데항을 놓치는 행동을 구별할 수 있다. 반대로 후보의 곱만 적고 인수를 만든다면 아직 해당 판단 단계가 끝난 것으로 보지 않는다.
통학 후 짧은 시간에도 확인할 수 있는 방법
군자동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 광남고등학교·자양고등학교 등 광진구 내 학교를 참고하는 통학권 학생이라도 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이 기록 방식이 달라질 수 있다. 시간이 짧은 날에는 여러 문제를 풀기보다 한 식에서 후보 두 수의 곱과 합을 모두 적었는지만 점검한다.
예를 들어 x²+x-20에서는 곱이 -20이고 합이 1인 두 수가 5와 -4이다. 실제 계산은 5×(-4)=-20, 5+(-4)=1이므로
x²+x-20=(x+5)(x-4)
가 된다. 음수가 포함된 경우에도 곱과 합을 따로 계산해야 부호를 임의로 정하지 않게 된다.
조건을 바꾼 문장제에서 근거를 말하게 하기
마지막에는 같은 식을 반복하지 않고 다음 조건을 추가한 문제로 확인한다.
직사각형의 넓이가 x²+9x+20이고 두 변의 길이를 정수식 x+p, x+q로 나타낼 때, 양의 정수 p,q를 구하여라.
학생이 20의 인수쌍 1과 20, 2와 10, 4와 5를 비교해 4×5=20이고 4+5=9라고 먼저 설명하면 조건에 맞는 근거를 사용한 것이다. 따라서 두 변은 x+4, x+5이고, 넓이는 (x+4)(x+5)=x²+9x+20이다. 정답만 말하는 것이 아니라 곱과 합을 먼저 계산하는지가 새로운 조건에서도 유지되는지 확인한다.