군자동 고3수학과외에서 확인한 지수함수 미분의 기준
군자동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 광진구의 광남고등학교·건국대학교사범대학부속고등학교·자양고등학교·동국대학교사범대학부속가람고등학교·대원고등학교 등을 통학권 참고 범위로 삼아 학생의 생활 리듬을 구분해 학습했다. 통학 시간이 짧은 학생은 풀이 직후 검산까지 진행했지만, 이동 시간이 긴 학생은 수업 초반에 틀린 식을 다시 분석하는 방식으로 학습 시간을 조정했다.
ln a를 빠뜨린 순간부터 다시 확인한 풀이
학생은 다음 함수를 미분하면서 첫 줄에
y=3^x, y'=3^x
라고 적었다. 이 식은 틀렸다. 밑이 3인 지수함수의 미분에는 밑의 자연로그가 반드시 포함되므로 정확한 결과는
y'=3^x\ln 3
이다.
일반적으로 a>0, a≠1일 때
a^x=e^{x\ln a}
로 바꿀 수 있다. 따라서 연쇄법칙을 적용하면
$$\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a} =e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^x\ln a$$
가 된다. 밑이 양수여야 실수 범위에서 모든 실수 x에 대해 함수가 정의되고, a=1이면 함수가 상수 1이 되어 미분계수는 0이다. 학생은 밑의 숫자만 보고 지수 부분의 형태를 그대로 복사하면서 이 조건과 변환 과정을 생략했다.
틀린 줄에 표시하고 합성 구조를 분리하기
- 틀린 줄 표시: y'=3^x에 밑의 로그 인자가 빠졌다고 표시한다.
- 조건 확인: 3은 양수이고 1이 아니므로 3^x=e^{x\ln3}으로 바꿀 수 있는지 확인한다.
- 식 수정: 지수 안쪽 함수가 x\ln3이므로 도함수는 e^{x\ln3}\cdot\ln3=3^x\ln3로 고친다.
- 대입 검산: x=0을 대입하면 수정한 도함수는 ln3이다. 원래 함수의 순간변화율이 밑 3에 따라 달라져야 하므로 1만 나오는 기존 식과 구별된다.
합성함수에서는 안쪽 미분까지 확인하기
같은 원리를 적용해
f(x)=3^{2x-1}
을 미분하면
f'(x)=3^{2x-1}\ln3\cdot2 =2\ln3\cdot3^{2x-1}
이다. 학생이 자주 쓰는 f'(x)=3^{2x-1}은 밑의 로그와 안쪽 함수 2x-1의 미분을 모두 누락한 오답이다. 지수함수를 e^{(2x-1)\ln3}로 바꾸면 두 누락 요소가 한 번에 드러난다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제로 밑과 지수식을 모두 바꾸어
g(x)=5^{3-x}
를 제시했다. 학생은 먼저
g(x)=e^{(3-x)\ln5}
로 바꾸고, 지수의 도함수가 -1임을 확인해야 한다. 따라서 정답은
g'(x)=-\ln5\cdot5^{3-x}
이다. x=3을 대입하면 g'(3)=-\ln5가 되어 감소 함수의 기울기가 음수라는 그래프 조건과도 일치한다. 이처럼 답만 쓰지 않고 밑의 조건, 안쪽 함수의 미분, 부호를 차례로 검산하는 연습으로 같은 ln 누락을 독립적으로 판별했다.