구의동고2수학과외

구의동고2수학과외에서 로그를 지수식으로 되돌리는 연습

구의동에서는 동국대학교사범대학부속가람고등학교가 지역 내 학교로 확인되며, 광남고·건국대학교사범대학부속고·자양고·대원고 등은 같은 광진구의 참고 학교다. 구의7단지현대아파트나 구의현대2단지아파트처럼 생활권과 학교까지의 이동 시간이 다른 만큼, 풀이 훈련도 학생이 확보한 시간 안에서 한 식의 변환 근거를 끝까지 설명하는 방식으로 진행한다.

log₂8=3을 보고 지수식으로 복원하지 못한 순간

로그의 기본 정의는

log_ab=c ⇔ a^c=b

이다. 단, a>0, a≠1, b>0이어야 한다. 따라서

log₂8=3

은 밑 2를 3제곱하면 진수 8이 된다는 뜻이므로

2³=8

로 바꾸어야 한다.

풀이 첫 줄에서 이 관계를 지수식으로 되돌리지 않고, 로그의 밑과 진수를 곧바로 곱하거나 2×8=16처럼 적으면 정의와 맞지 않는다. 로그의 값은 밑과 진수의 곱이 아니라, 밑을 몇 제곱해야 진수가 되는지를 나타내는 지수이기 때문이다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 변환 근거 남기기

예를 들어 다음 식을 보자.

2log₃9−log₃27

먼저 계수는 로그의 거듭제곱 법칙으로 옮긴다.

2log₃9=log₃9²=log₃81

따라서

log₃81−log₃27
=log₃(81÷27)
=log₃3
=1

여기서 마지막 결과는 다시 지수식으로 확인할 수 있다.

log₃3=1 ⇔ 3¹=3

학생이 계수 2를 진수에 곱해 log₃18로 바꾸었다면, 이는 klog_aM=log_aM^k를 사용하지 않은 오답이다. 또한 뺄셈을 진수의 뺄셈으로 처리해 log₃(81−27)로 적는 것도 잘못이다. 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈으로 연결된다.

두 표현 중 어떤 로그 법칙을 적용할지 고르기

비슷해 보이는 다음 두 식을 구분해 보게 한다.

① log₅25+log₅5
② log₅(25+5)

①은 같은 밑의 로그가 더해져 있으므로

log₅(25×5)=log₅125=3

으로 바꿀 수 있다. 반면 ②는 로그의 합이 아니라 진수 안의 덧셈이므로 곱의 로그 법칙을 적용할 수 없다. 이때는 log₅30으로 그대로 두어야 한다.

훈련 답안에는 변환 직후 원래 식을 복원하는 한 줄을 남긴다. 예를 들어 log₃81−log₃27을 log₃3으로 바꿨다면, 역으로

log₃3=log₃(81÷27)=log₃81−log₃27

인지 확인한다. 지수식으로 바꾼 경우에도 log₂8=3 ⇔ 2³=8처럼 양방향이 맞는지 점검한다.

새 조건에서 정의와 법칙을 함께 확인하기

다음 문제에서는 앞의 숫자를 그대로 반복하지 않는다.

log_1/24−2log_1/22

첫 번째 항은

log_1/24=−2

이다. 왜냐하면 (1/2)⁻²=4이기 때문이다. 두 번째 항은

2log_1/22=2(−1)=−2

이므로 전체 값은

−2−(−2)=0

이다. 밑이 1/2이어도 밑 조건 0<1/2≠1을 만족하며, 지수식으로 되돌릴 때 음의 지수가 필요하다는 점을 확인해야 한다. 이 문제에서 학생이 두 로그를 하나의 곱으로 묶거나 log_1/2(4−2×2)로 바꾸지 않고, 각 항을 지수식으로 설명한 뒤 원래 표현까지 복원한다면 계수·부호·밑이 달라진 상황에서도 로그 정의와 법칙을 연결해 사용한 것이다.