구의동고3수학과외

구의동 고3 수학과외에서 합성함수 미분의 첫 판단 점검

구의동의 동국대학교사범대학부속가람고등학교와 광진구 내 광남고등학교, 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교, 대원고등학교를 참고하는 학생이라도 실제 풀이 시간은 다를 수 있다. 구의7단지현대아파트나 구의현대2단지아파트처럼 생활권과 학교까지의 이동 거리에 따라 짧은 시간에 변형 문제의 조건을 정리하는 훈련이 필요하다.

밑이 바뀐 지수함수에서 놓친 안쪽 미분

학생은 다음 함수를 미분하면서 질문의 방향이 바뀌었다는 사실보다 직전 예제의 모양을 먼저 떠올렸다.

f(x)=e^x²+log₂(3x+1)

학생의 계산은 다음과 같았다.

f′(x)=e^x²+3/((3x+1)ln2)

이 식은 틀렸다. e^x²는 e^u에서 u=x²인 합성함수이므로 바깥 함수의 미분 뒤에 안쪽 미분 2x를 곱해야 한다. 따라서 정확한 식은

f′(x)=2xe^x²+3/((3x+1)ln2)

이다. 또한 로그항은 3x+1>0, 즉 x>−1/3에서만 정의된다.

후보를 남기지 않고 조건을 통과시키는 풀이

학생은 변형 문제에서 직전 예제의 결과를 그대로 후보로 남겼다. 이를 고치기 위해 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 변수 관계를 분리했다.

• □ e^x²: 바깥 미분 e^x², 안쪽 미분 2x
• □ log₂(3x+1): 1/((3x+1)ln2)에 3을 곱함
• □ 정의역: 3x+1>0

이후 x=1을 대입해 원식과 미분식을 따로 확인했다. 원식은

f(1)=e+log₂4=e+2

이고, 미분값은

f′(1)=2e+3/(4ln2)

이다. e^x²의 미분을 e^x²로만 쓰면 x=1에서 첫 항이 e가 되어 실제 변화율 2e와 맞지 않는다. 학생은 계산 후 후보값마다 정의역과 안쪽 미분 포함 여부를 체크해 남길 식을 하나로 줄였다.

합성 깊이를 늘린 독립 검증

같은 유형을 반복하지 않고 다음 문제로 절차를 검증했다.

g(x)=e^(2x−1)²+log₃(x+2)의 도함수를 구하여라.

안쪽 함수가 2x−1이고 그 제곱이 다시 지수의 지수이므로

g′(x)=4(2x−1)e^(2x−1)²+1/((x+2)ln3)

이다. 로그 조건은 x+2>0, 즉 x>−2이다. x=1을 대입하면

g′(1)=4e+1/(3ln3)

이므로, 학생은 첫 줄에서부터 바깥 미분과 모든 안쪽 미분을 순서대로 곱하고 마지막에 정의역을 확인하는 방식으로 전이 적용을 마쳤다.