구의동고1수학과외: 가운데항으로 합차공식과 완전제곱식 가르기
구의동의 학교 프린트에서 다음 식을 인수분해하는 장면을 살펴보자.
9x² − 24x + 16
학생은 양끝 항만 보고 9x²=(3x)², 16=4²라고 표시한 뒤, 가운데항 −24x는 나중에 확인하려 했다. 풀이 첫 줄에 식의 형태를 판단하는 기록도 남기지 않았다. 이때 필요한 것은 양끝이 제곱인지 보는 데서 멈추지 않고, 가운데항이 두 제곱근의 곱에 해당하는지 확인하는 일이다.
양끝의 제곱만으로는 완전제곱식이 되지 않는다
9x² − 24x + 16에서 a=3x, b=4로 두면
a² − 2ab + b²=(a−b)²
의 가운데항은 −2·3x·4=−24x이다. 따라서 세 항이 모두 맞아
9x² − 24x + 16=(3x−4)²
로 정리된다. 반면 합차공식은 가운데항이 없는
a²−b²=(a−b)(a+b)
형태에 적용한다. 예를 들어 25y²−49는 양끝 항이 제곱이고 가운데항이 없으므로
25y²−49=(5y−7)(5y+7)
이다. 양끝 항이 제곱꼴이라는 공통점만 보고 두 공식을 섞으면 안 된다.
학생의 오답은 가운데항을 생략한 데서 생겼다
학생이 9x²−24x+16을 보고 다음과 같이 적었다고 하자.
9x²−24x+16=(3x−4)(3x+4)
이 식의 오른쪽을 전개하면 (3x−4)(3x+4)=9x²−16이므로 원래 식의 −24x가 사라진다. 따라서 양끝 항의 제곱근만 맞춘 이 풀이는 틀렸다. 가운데항이 존재하는지를 먼저 판단하고, 존재한다면 그 값이 ±2ab인지 대조해야 한다.
세 칸 확인으로 식의 종류를 먼저 결정하기
- 첫째 칸: 양끝 항을 제곱으로 읽는다. 9x²=(3x)², 16=4².
- 둘째 칸: 가운데항의 존재 여부를 확인한다. −24x가 있으므로 합차공식은 바로 적용할 수 없다.
- 셋째 칸: 2ab를 계산한다. 2·3x·4=24x이므로 부호까지 포함한 −2ab=−24x가 성립한다.
이 세 칸이 모두 맞으면 (3x−4)²이다. 반대로 16z²−81처럼 가운데항 자체가 없으면 (4z−9)(4z+9)로 판단한다. 정답을 맞혔더라도 이 확인 기록이 빠졌다면 식의 종류를 우연히 고른 것인지 다시 점검한다.
구의동 생활 리듬에 맞춘 짧은 판별 훈련
동국대학교사범대학부속가람고등학교에서 귀가하는 시간과 구의7단지현대아파트, 구의현대2단지아파트 등 주거지에서 확보되는 시간이 학생마다 다를 수 있다. 긴 풀이를 여러 개 풀기보다 학교 프린트의 식 옆에 ‘가운데항 있음/없음, 2ab 확인’만 먼저 적고 한 식을 판별하는 방식으로 연습할 수 있다.
예를 들어 4t²+20t+25에서는 a=2t, b=5이므로 2ab=20t이다. 따라서 (2t+5)²이다. 이와 달리 36t²−121은 가운데항이 없으므로 (6t−11)(6t+11)이다. 같은 광진구의 광남고등학교, 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교, 대원고등학교는 참고 학교일 뿐 구의동 소재 학교와 구분해 보아야 하며, 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 이 짧은 판별 훈련의 시점을 다르게 정할 수 있다.
괄호 위치를 바꾼 식에서 첫 행동을 확인한다
훈련 뒤에는 다음 식을 제시한다.
49−14u+u²
항의 순서가 달라졌지만 u²−14u+49로 읽으면 a=u, b=7이고 −2ab=−14u이다. 따라서 답은 (u−7)²이다. 이때 누가 순서를 알려주지 않았는데도 학생이 먼저 항을 정리하거나 가운데항의 유무를 표시하는지 본다.
학생이 막혔을 때는 “어디서 막혔는지”를 한 문장으로 쓰게 한다. 예를 들어 “양끝 항은 제곱인데 가운데항 −14u가 −2ab인지 판단하지 못했다”라고 적었다면, 단순 계산 실수가 아니라 공식 선택의 기준이 빠진 상황임을 스스로 드러낸 것이다.