광장동고2수학과외

log₂8을 지수식으로 되돌리는 한 줄

광장동고2수학과외 수업에서 로그 문제의 계산 흔적을 살펴보면, 학생이 답을 몰라서라기보다 로그법칙을 적지 않은 채 곧바로 지수식으로 바꾸면서 오류가 시작되는 경우가 있었다. 광남고등학교 하교 뒤 광장 현대5단지나 광장자이아파트 생활권으로 이동한 뒤 자습할 때도, 짧은 문제일수록 이 첫 줄을 생략하지 않는 것이 중요하다.

log₂8+log₂4를 log₂12로 합치면 안 되는 이유

다음 식에서 x를 구해 보자.

log₂8+log₂4=x

학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 먼저 나타났다.

잘못된 줄: 2^x=8+4=12

이 식은 두 로그의 합을 진수의 합으로 바꾼 것이다. 로그의 곱셈 법칙은 적용할 수 있지만, 덧셈 법칙은 적용할 수 없다.

수정한 풀이에서는 달라진 기호를 표시한다.

log₂8+log₂4 = log₂(8×4) = log₂32 = x

따라서 로그의 정의인 log₂32=x ⇔ 2^x=32를 사용하면 x=5이다. 밑 2는 0보다 크고 1이 아니며, 진수 8, 4, 32도 모두 양수이므로 정의 조건에도 맞는다.

계산 줄에 법칙과 정의를 분리해 남기기

log₂8=3을 보았을 때는 2³=8로 되돌아가야 한다. 즉 로그값을 진수와 혼동하지 않도록 다음 두 관계를 구별한다.

log₂8=3
2³=8

연습할 때는 로그법칙을 적용한 줄과 지수식으로 바꾼 줄을 이어서 작성한다. 답만 5라고 쓰지 않고, log₂8+log₂4=log₂32와 2^x=32를 모두 남겨야 어느 기호에서 판단이 바뀌었는지 확인할 수 있다.

필요한 정보만 골라 다시 적용하기

이번에는 다음 조건이 함께 주어졌다고 하자.

log₃27+log₃(1/9)=x
log₃81=4

log₃81=4는 주어진 정보이지만 이 식을 계산하는 데 필요하지 않다. 필요한 로그만 곱의 법칙으로 묶으면

log₃27+log₃(1/9)=log₃(27×1/9)=log₃3=1

또는 정의를 이용해 log₃27=3, log₃(1/9)=-2로 계산해도 x=1이다. 밑 3은 허용되고 두 진수는 양수이며, 불필요한 log₃81을 끌어오지 않았는지도 함께 확인한다.