광장동고1수학과외: 완전제곱식의 가운데항 2ab 판별
광남고등학교 수업 뒤 광장 현대5단지나 광장자이아파트 방향으로 이동한 후 짧은 자습시간을 확보할 때는, 완전제곱식 문제를 답만 맞히는 방식으로 넘기지 않고 식의 세 요소를 직접 확인하는 연습이 필요하다.
양끝항만으로는 완전제곱식이 결정되지 않는다
예를 들어 다음 식을 보자.
9x2 + 12x + 4
양끝항의 제곱근은 각각 3x와 2이다. 따라서 가운데항이 만들어 내야 할 값은
2ab = 2·(3x)·2 = 12x
이다. 실제 가운데항도 12x이므로
9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2
로 정리할 수 있다. 양끝항, 가운데항, 부호가 모두 맞아야 완전제곱식이다.
학생의 풀이에서 빠진 한 칸
학교 프린트에서 16y2 - 24y + 9를 본 학생은 양끝항에만 표시한 뒤 “(4y+3)2”라고 적었다. 16y2와 9가 각각 제곱꼴이라는 점은 확인했지만, 가운데항을 2ab와 비교하지 않은 것이다.
실제로
(4y+3)2 = 16y2 + 24y + 9
이므로 학생의 식은 가운데항의 부호가 맞지 않는다. 올바른 식은
(4y-3)2 = 16y2 - 24y + 9
이다. 양끝항만 보고 판단하면 두 식 중 어느 부호가 필요한지 결정할 수 없다.
세 칸으로 나누어 판정하기
- 첫째 칸: 첫 항이 a2인지 확인한다.
- 둘째 칸: 끝 항이 b2인지 확인한다.
- 셋째 칸: 가운데항이 실제로 2ab인지, 부호까지 비교한다.
예를 들어 25z2 - 30z + 9에서는 a=5z, b=3으로 둘 수 있다. 그러면 2ab=30z이므로 가운데항은 -30z가 되어야 한다. 따라서
25z2 - 30z + 9 = (5z-3)2
이다. 오답노트에는 정답식만 옮기지 않고 “양끝 제곱근을 구한 뒤 2ab와 실제 가운데항을 비교한다”라는 바뀐 행동 한 가지를 남긴다.
부호를 바꾼 식에서 오류가 시작된 줄 찾기
훈련 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고 부호를 바꾼 식 25t2 - 20t + 4를 제시한다. 풀이 시작 부분에 다음과 같이 표시해야 한다.
a=5t, b=2, 2ab=20t
그러므로 가운데항이 -20t이므로 두 항의 부호가 반대인 제곱식이 되어
25t2 - 20t + 4=(5t-2)2
이다. 만약 학생이 중간에 (5t+2)2라고 썼다면 전개 결과가 25t2+20t+4가 된다. 학생이 양끝항을 잘못 찾은 것이 아니라 가운데항의 부호를 비교하지 않은 줄에서 오류가 시작되었음을 스스로 찾아 고치는지 확인한다.
짧은 이동 뒤에도 남는 풀이 흔적
광장동에서 통학과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 시간에는 여러 문제를 풀기보다 식 하나에 세 칸 표시를 남기는 방식이 적절하다. 새로운 식을 만났을 때 학생이 양끝 제곱근만 적지 않고 2ab의 값과 부호까지 먼저 기록한다면, 완전제곱식 여부를 독립적으로 판별하는 과정이 실제 풀이에 자리 잡았다고 볼 수 있다.