광장동고3수학과외

광장동 고3수학과외에서 잡아낸 연쇄법칙의 첫 오류

광장동에서 광남고등학교를 오가는 학생은 방과 후 이동 시간을 제외하고 확보한 자습 시간에 틀린 문제를 다시 풀었다. 같은 광진구의 건국대학교사범대학부속고등학교, 자양고등학교 등은 참고 학교일 뿐 광장동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생의 실제 학습 장면은 광남고등학교 통학 후 복습 시간에 맞추어 정리했다.

답이 아니라 첫 줄의 정의부터 확인하기

문제에서 f(x)=e^2x의 도함수를 구하라고 하자 학생은 다음과 같이 적었다.

f′(x)=e^2x

이 식은 오답이다. 지수부의 2를 그대로 둔 채 미분했기 때문이다. e^u의 미분은 e^u·u′이므로, 여기서 u=2x, u′=2를 적용해야 한다.

따라서 정확한 계산은 다음과 같다.

f′(x)=e^2x·(2x)′=2e^2x

오류는 마지막 답을 잘못 정리한 데 있지 않고, 첫 줄에서 합성된 지수부를 하나의 문자로 읽지 않은 것에 있다. 정의역은 지수함수이므로 x∈ℝ 전체이며, 특정 구간의 끝점 포함 여부를 따질 문제는 아니다.

오답 줄에 표시하고 값으로 검산하기

• 오류 표시: e^2x 뒤에 (2x)′가 빠진 줄에 밑줄을 긋는다.
• 관계 확인: 바깥 함수는 e^u, 안쪽 함수는 u=2x임을 분리해 적는다.
• 식 수정: f′(x)=e^u·u′에서 u′=2를 대입하여 2e^2x로 고친다.
• 수치 검산: x=0에서 수정된 도함수는 f′(0)=2이다. 원래 함수의 변화율이 e^2x만큼이라고 한 오답은 x=0에서 1이 되어 계수 2를 놓쳤음을 확인한다.

학생은 이전에는 같은 계산을 반복했지만, 이제는 부호·범위·공식 중 무엇이 틀렸는지 구분하고 첫 오류 줄에서 멈춘다. 특히 답만 고치는 대신 안쪽 함수의 미분값을 별도로 적어 연쇄법칙의 적용 시점을 확인한다.

계수와 정의역을 바꾼 독립 검증

새 문제로 g(x)=e^-3x+1, -2≤x<1의 도함수와 정의역을 확인했다.

안쪽 함수를 v=-3x+1로 두면 v′=-3이므로

g′(x)=e^-3x+1·(-3)=-3e^-3x+1

정의역은 문제에서 제시한 구간 그대로 [-2, 1)이다. -2는 포함되므로 대괄호를 쓰고, 1은 포함되지 않으므로 소괄호를 쓴다. 끝점에서의 포함 조건과 지수부의 계수는 서로 다른 정보이므로 따로 확인해야 한다.

x=0을 대입하면 g′(0)=-3e이므로 부호와 계수 모두 원래 지수부의 기울기 -3과 일치한다. 이 검산으로 학생은 e^2x 문제를 그대로 반복하지 않고, 계수·부호·정의역 범위를 바꾼 상황에서도 연쇄법칙과 조건을 정확히 적용했다.