광명고2수학과외에서 확인한 삼각방정식의 해 누락
풀이 노트에는 다음 한 줄이 남아 있었다.
sin x = 1/2 → x = π/6
그러나 \(0 \le x \le 2π\)에서 사인값이 양수인 사분면은 제1사분면과 제2사분면이다. 기준각이 \(π/6\)이므로 제2사분면의 해 \(π-π/6=5π/6\)도 포함해야 한다. 따라서 정답은
x = π/6, 5π/6
이다. 광명동·소하동·일직동·철산동·하안동처럼 생활권과 귀가 시간이 달라도, 학교 프린트나 지필평가 대비에서 이런 해 누락은 계산 줄 하나에서 확인할 수 있다.
기본각 하나에서 사분면으로 확장하기
삼각방정식은 기본각을 찾은 뒤 해당 삼각함수의 부호가 맞는 사분면을 확인해야 한다.
\[ \sin x=\frac12,\quad 0\le x\le2π \]
- 기준각을 구한다: \(\sin \frac{π}{6}=\frac12\)
- 사인값이 양수인 제1·제2사분면을 표시한다.
- 각을 적는다: \(π/6,\;π-π/6=5π/6\)
계산 흔적이 \(π/6\)에서 끝났다면 오류는 공식 계산이 아니라 사분면 확인을 생략한 지점에서 시작된 것이다. 이때 풀이 전체를 처음부터 다시 쓰기보다 \(x=π/6\)을 적은 바로 다음 줄에 “사인 양수: 제1·제2사분면”을 덧붙여 이어서 \(5π/6\)을 완성하게 한다.
부등식에서는 경계각과 포함 범위까지 확인하기
같은 판단은 삼각부등식에서도 필요하다.
\[ \sin x\ge\frac12,\quad 0\le x\le2π \]
경계가 되는 각은 \(π/6\)과 \(5π/6\)이고, 사인 그래프가 그 사이에서 \(1/2\) 이상이므로
\(\frac{π}{6}\le x\le\frac{5π}{6}\)
이다. 등호가 포함되어 있으므로 양 끝 각을 제외하지 않는다. 방정식에서 두 경계각을 찾고, 부등식에서는 그 사이의 부호와 구간을 판단하는 차이를 함께 기록해야 한다.
새 조건에서 사분면 판단을 다시 세우는지 확인
이전 식을 옆에 두지 않고 다음 문제만 제시한다.
\[ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2},\quad 0\le x\le2π \]
기준각은 \(π/6\)이며 코사인값이 음수인 제2·제3사분면을 선택한다. 따라서
\[ x=π-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6},\qquad x=π+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6} \]
으로 답한다. 이때 \(5π/6\) 하나만 쓰지 않고 제3사분면까지 찾아냈는지, 그리고 \(\cos(5π/6)\), \(\cos(7π/6)\)이 모두 \(-\sqrt3/2\)인지 대입해 확인하면 새로운 조건에서도 기본각과 사분면을 연결한 풀이가 유지되는지 판단할 수 있다.