광명 고3수학과외에서 경우의 수의 첫 판단 바로잡기
광명동·소하동·일직동·철산동·하안동처럼 생활권과 귀가 시간이 다른 고3 학생은 문제를 많이 푸는 것보다 시험 전 과제와 복습 순서를 먼저 정리할 필요가 있다. 특히 합의 법칙과 곱의 법칙은 계산보다 순서가 이어지는지, 선택지가 겹치는지, 독립인지를 먼저 판단해야 한다.
틀린 계산보다 앞선 조건 확인
한 학생이 다음 문제를 풀었다.
빨간 공 3개와 파란 공 2개 중에서 공을 하나 뽑은 뒤, 다시 넣지 않고 두 번째 공을 뽑는다. 두 공의 색이 서로 다를 확률을 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 첫 번째가 빨간색일 확률은 \(3/5\), 두 번째가 파란색일 확률은 \(2/5\)이므로
\[
P(\text{서로 다른 색})=2\cdot\frac35\cdot\frac25=\frac{12}{25}.
\]
이 식은 틀린 식이다. 두 번째 공을 뽑을 때 첫 번째 공을 다시 넣지 않았으므로 두 번째 확률은 처음과 같은 \(2/5\)가 아니다. 또한 ‘빨강 후 파랑’과 ‘파랑 후 빨강’은 서로 동시에 일어날 수 없는 두 경우이므로 먼저 각각의 경우를 합해야 한다.
표의 첫 칸에 학생이 적어야 할 조건은 다음과 같다.
- 빨강 후 파랑: \(\frac35\cdot\frac24=\frac{3}{10}\)
- 파랑 후 빨강: \(\frac25\cdot\frac34=\frac{3}{10}\)
- 두 경우는 동시에 일어나지 않으므로 합한다.
따라서 정확한 식은
\[ P(\text{서로 다른 색}) =\frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac34 =\frac{3}{10}+\frac{3}{10} =\frac35 \]
이다. 학생은 정답 \(3/5\)를 확인한 뒤 같은 계산을 반복하지 않고, 처음 모순이 생긴 줄에 표시했다. 첫 번째 공을 뽑은 뒤 남은 공의 수와 색이 달라진다는 조건을 확인하고, 독립적인 시행이 아니므로 곱셈을 한 경로 안에서만 사용했다. 마지막으로 가능한 전체 순서를 직접 세어 \(3\cdot2+2\cdot3=12\), 전체 경우 \(5\cdot4=20\)이므로 \(12/20=3/5\)인지 역검산했다.
합의 법칙과 곱의 법칙을 구분하는 기준
한 과정 안에서 선택이 연속으로 이어지면 곱의 법칙을 쓴다. 반대로 서로 함께 일어날 수 없는 여러 경로를 나누어 세면 합의 법칙을 적용한다.
예를 들어 숫자 \(1,2,3,4,5\) 중 서로 다른 두 개를 사용해 두 자리 짝수를 만드는 경우를 보자. 일의 자리는 \(2\) 또는 \(4\)이므로 합의 법칙으로 나눈다.
- 일의 자리가 \(2\)인 경우: 십의 자리 \(4\)가지
- 일의 자리가 \(4\)인 경우: 십의 자리 \(4\)가지
두 경우는 중복되지 않으므로
\[ 4+4=8 \]이다. 여기서 \(2\)와 \(4\)를 먼저 고른 뒤 십의 자리를 정하는 구조이므로 각 경우 안에서는 곱의 법칙이 사용되지만, 두 끝 경우를 합칠 때는 합의 법칙을 사용한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 공 문제를 반복하지 않고, 숫자와 조건을 바꾸어 다음 문제로 확인했다.
남학생 4명, 여학생 3명 중에서 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는다. 두 직책 중 적어도 한 명이 여학생일 확률을 구하여라.
전체 경우는 직책이 구분되므로
\[ 7\cdot6=42 \]이다. 여학생이 적어도 한 명인 경우는 ‘여학생-여학생’과 ‘여학생-남학생’, ‘남학생-여학생’으로 나뉜다.
\[ 3\cdot2+3\cdot4+4\cdot3=6+12+12=30 \]따라서 확률은
\[ \frac{30}{42}=\frac57 \]이다. 여학생이 한 명도 없는 경우의 확률 \(\frac{4\cdot3}{7\cdot6}=\frac27\)을 이용해 \(1-\frac27=\frac57\)로도 검산할 수 있다. 학생은 이 검증에서 독립 여부를 묻기보다 직책이 구분되는지와 경우가 겹치는지를 먼저 확인하며, 곱셈과 덧셈이 각각 어느 단계에서 쓰였는지 표시했다.