광명고1수학과외, 행렬의 같은 조건을 대응 원소로 세우는 법
광명북고등학교나 소하동·일직동 생활권에서 학교 프린트와 과제를 함께 정리할 때, 행렬 문제의 계산 결과만 적혀 있는 답안을 자주 확인하게 된다. 그러나 두 행렬이 같다는 조건은 곧바로 덧셈이나 곱셈을 시작하라는 뜻이 아니다. 먼저 같은 위치의 원소끼리 비교해 필요한 식을 세워야 한다.
결과식만 남은 답안에서 빠진 한 단계
다음 두 행렬이 같다고 하자.
\[ \begin{pmatrix} 2x-1 & 4\\ y+3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & a\\ 7 & 2b-6 \end{pmatrix} \]
학생의 답안에는 곧바로 x=3, y=4처럼 결과만 적혀 있었고, 어느 원소를 비교했는지는 나타나지 않았다. 이 문제에서는 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래의 위치를 각각 대응시켜야 한다.
- 왼쪽 위: \(2x-1=5\)
- 오른쪽 위: \(4=a\)
- 왼쪽 아래: \(y+3=7\)
- 오른쪽 아래: \(-2=2b-6\)
따라서 \(x=3,\ a=4,\ y=4,\ b=2\)이다. 행렬의 같음은 전체 모양이 비슷하다는 의미가 아니라, 행의 수와 열의 수가 같고 각 위치의 원소가 모두 같다는 뜻이다.
문장 속 모든 수를 옮기지 말고 필요한 관계만 고르기
학생이 문제의 숫자를 전부 답안에 다시 쓰려다 대응 위치를 놓치는 경우에는, 먼저 구할 문자를 표시하게 한다. 예를 들어
\[ \begin{pmatrix} p+2 & -3\\ 6 & 2q-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & r\\ s & 5 \end{pmatrix} \]
에서 \(p\)와 \(q\)만 구한다면 모든 원소를 식으로 옮길 필요는 없다. \(p\)는 왼쪽 위와 오른쪽 위를 비교하여 \(p+2=9\), \(q\)는 오른쪽 아래를 비교하여 \(2q-1=5\)로 세운다. 그러면 \(p=7,\ q=3\)이다. \(-3,r,6,s\)의 관계는 이 두 문자를 구하는 데 필요하지 않다.
구할 문자 → 그 문자가 있는 위치 → 같은 위치의 반대편 원소 → 등식 작성
이 순서를 말로 설명한 뒤 식을 쓰게 하면, 답안에 대응 원소를 비교한 흔적이 남는다. 단순히 정답을 맞히는 것과 어떤 위치에서 식이 나왔는지를 설명하는 것은 다른 학습 상태다.
부호를 바꾼 행렬에서 같은 판단을 다시 확인하기
훈련 문제를 그대로 반복하지 않고 한 원소의 부호를 바꾸어 확인한다.
\[ \begin{pmatrix} 3m-2 & 8\\ -4 & n+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & t\\ u & -5 \end{pmatrix} \]
여기서 \(m,n\)을 구할 때 필요한 관계는 왼쪽 위와 오른쪽 위의 비교가 아니라, 각각 같은 위치에 있는 원소의 비교다.
- \(3m-2=10\)이므로 \(3m=12,\ m=4\)
- \(n+1=-5\)이므로 \(n=-6\)
특히 아래 오른쪽 원소가 \(n+1\)과 \(-5\)이므로 \(n+1=5\)라고 쓰면 안 된다. 학생이 답안을 작성할 때 음수 기호까지 포함해 대응 원소를 옮겼는지 확인한다. 구한 값을 다시 대입하면 \(3(4)-2=10\), \((-6)+1=-5\)가 되어 두 관계가 모두 맞는다.
귀가 뒤 짧은 풀이에서도 남겨야 할 표시
소하상업지구나 광명역세권5단지처럼 귀가 시간이 일정하지 않은 생활권에서는 긴 풀이보다 한 문제의 첫 줄을 정확히 남기는 훈련이 효율적이다. 학교 과제에서 행렬을 본 즉시 답을 계산하지 말고, 구하려는 문자 옆에 대응 위치를 표시한 뒤 등식을 한 줄 작성한다. 이후 계산은 그 등식에서만 진행한다.
학습 순서를 스스로 조정하는 학생이라면 먼저 대응 원소 비교를 적고, 그다음 미지수를 계산하는 방식을 유지하는지 살핀다. 새로운 문제에서 숫자를 모두 옮겨 적지 않고 필요한 위치의 관계만 선택했다면, 이전 훈련이 실제 풀이 행동으로 이어진 것으로 볼 수 있다.