하안동고2수학과외, 치환한 삼각식에서 해를 걸러내는 계산
하안동의 진성고등학교 고2 수학에서는 삼각방정식의 식을 바로 풀기보다 치환한 값이 실제 삼각함수값의 범위에 들어가는지 확인해야 하는 문제가 등장한다. 하안현대아파트 생활권에서 학교 프린트와 지필평가 범위를 함께 정리할 때도, 풀이의 각 줄을 조건·계산·검산으로 나누어 보는 방식이 유용하다. 광명북고등학교나 소하고등학교 등은 같은 광명시의 참고 학교일 뿐, 하안동 소재 학교와는 구분해야 한다.
t=2를 얻은 뒤 멈춘 계산
다음 삼각방정식을 \(0\le x<2\pi\)에서 풀어 보자.
\(\sin^2x-3\sin x+2=0\)
\(t=\sin x\)로 치환하면
\[ t^2-3t+2=0 \] \[ (t-1)(t-2)=0 \]
따라서 \(t=1\) 또는 \(t=2\)이다. 여기서 풀이가 다음처럼 끝나는 경우가 있었다.
“\(t=\sin x\)로 치환하여 \(t=2\)를 얻었다.”
그러나 이 줄 뒤에는 계산이 아니라 조건 확인이 필요하다. 모든 실수 \(x\)에 대해
\[ -1\le \sin x\le 1 \]
이므로 \(t=2\)는 불가능한 후보이다. \(t=1\)만 남고, \(\sin x=1\)이므로 주어진 범위에서
\[ x=\frac{\pi}{2} \]
이다. \(t=2\)를 삼각방정식으로 되돌리려 한 것이 계산 칸의 오류가 아니라, 치환값의 범위를 확인하지 않은 조건 칸의 누락인 셈이다.
치환 뒤에는 세 칸을 분리한다
풀이를 다음 세 부분으로 나누어 적으면 어느 줄에서 문제가 생겼는지 추적할 수 있다.
- 조건: \(t=\sin x\)이므로 \(-1\le t\le1\)
- 계산: \(t^2-3t+2=0\), 즉 \(t=1,2\)
- 검산: \(t=2\) 제거, \(t=1\)을 \(\sin x=1\)로 복원
이때 계산 결과에 나온 모든 값을 곧바로 \(x\)의 해로 바꾸면 안 된다. 먼저 치환된 문자의 범위를 대조하고, 남은 값만 원래 삼각식으로 되돌려야 한다. 특히 \(t=2\)에서 억지로 \(x\)를 찾는 것이 아니라, 실현 불가능한 후보로 표시하는 것이 정확한 처리다.
계수만 바뀐 식에서 같은 판단을 유지하기
조건과 범위 확인이 새로운 식에서도 유지되는지 다음 문제로 확인한다.
\(2\sin^2x-3\sin x+1=0,\quad 0\le x<2\pi\)
이번에는 \(t=\sin x\)로 놓으면
\[ 2t^2-3t+1=0 \] \[ (2t-1)(t-1)=0 \]
따라서
\[ t=\frac12,\quad t=1 \]
두 값 모두 \([-1,1]\)에 포함된다. 그러므로
\[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \]
이고,
\[ \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} \]
이다. 최종 해는
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}} \]
이다. 첫 문제와 숫자는 달라졌지만, 치환 직후 범위를 적고, 계산된 후보를 걸러낸 뒤, 남은 값을 원래 식의 삼각함수로 복원하는 순서는 변하지 않았다. 이 세 칸 중 어디에서 오류가 생겼는지 표시하며 풀이를 다시 쓰는 것이 치환형 삼각식의 해 누락을 막는 기준이 된다.