하안동고1수학과외: 복합 행렬식에서 스칼라배와 덧셈 분리하기
진성고등학교 프린트의 행렬 계산을 정리하던 중 다음과 같은 오답이 나왔다.
A = [[2, 1], [3, 4]], B = [[1, 2], [0, 3]]일 때 det(2A+B)를 구하시오.
학생의 계산: det(2A+B) = 2det(A)+det(B) = 2×5+3 = 13
이 식은 학생이 스칼라배와 행렬의 덧셈을 분리하지 못한 흔적이다. 행렬식에서 det(2A+B)는 먼저 행렬 2A+B를 만든 뒤 그 결과의 행렬식을 계산해야 한다. det(2A+B)를 2det(A)+det(B)로 바꾸는 것은 일반적으로 성립하지 않는다.
숫자 계산보다 먼저 행렬의 구조를 분리한다
먼저 스칼라배를 계산하면
2A = [[4, 2], [6, 8]]
이다. 여기에 B를 더해
2A+B = [[4+1, 2+2], [6+0, 8+3]] = [[5, 4], [6, 11]]
을 얻는다. 따라서
det(2A+B) = 5×11 - 4×6 = 55-24 = 31
이다. 반면 det(A)=2×4-1×3=5, det(B)=1×3-2×0=3이므로 학생의 13은 실제 행렬식과 다르다.
답안을 살펴보면 학생은 2A를 따로 적지 않고 곧바로 행렬식 계산으로 넘어갔다. 정답을 확인한 뒤에도 틀린 줄을 표시하지 않은 채 답만 31로 덮어썼다. 이 경우 결과는 수정되지만, 다음 문제에서 같은 연산 순서를 다시 구분하기 어렵다.
계산 줄에 연산의 순서를 남긴다
수정할 때는 다음 네 줄을 고정된 암기문장으로 쓰기보다, 각 줄의 역할을 말하며 진행한다.
- 스칼라배: 2A를 먼저 계산한다.
- 덧셈: 같은 위치의 원소끼리 B를 더한다.
- 행렬식: 완성된 2×2 행렬에서 주대각선 곱과 다른 대각선 곱을 뺀다.
- 검산: det(A), det(B)를 따로 계산하되 원래 식의 행렬식과 같다고 단정하지 않는다.
예를 들어 det(3A-B)를 계산할 때도 3A-B 자체를 바로 전개하지 않고
3A = [[6, 3], [9, 12]], 3A-B = [[5, 1], [9, 9]]
처럼 중간 행렬을 남긴다. 그러면 det(3A-B)=5×9-1×9=36이 된다. det(A)와 det(B)를 이용해 값을 조합하는 방식으로 바꾸면 안 된다.
하안동의 학교 일정에 맞춘 짧은 확인
하안현대아파트 생활권에서 귀가 후 시간이 짧은 날에는 진성고등학교 수학 프린트의 복합 행렬식 한 문항만 골라도 된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 풀이량을 늘리기보다, 답안에 스칼라배 행렬과 덧셈 결과가 각각 남아 있는지 확인하는 편이 이 오류를 더 직접적으로 드러낸다. 광명북고등학교나 소하고등학교 등은 같은 광명시의 참고 학교일 뿐, 하안동 소재 학교로 보아 일정을 섞어서는 안 된다.
행과 열 배치를 바꾼 문제에서 확인하기
다음 문항으로 적용 여부를 확인한다.
C = [[1, 3], [2, 5]], D = [[4, 0], [1, 2]]일 때 det(D+2C)를 구하시오.
학생이 먼저 2C=[[2, 6], [4, 10]]을 만들고,
D+2C = [[6, 6], [5, 12]]
를 얻은 뒤 det(D+2C)=6×12-6×5=42로 계산하는지 본다. 이때 det(D)+2det(C)=8+2×(-1)=6이라고 쓰지 않아야 한다. 새 행렬에서 숫자의 모양이 아니라 같은 위치의 원소끼리 더한 뒤 행렬식을 구했다면 기준을 적용한 것이다. 정답이 맞더라도 중간 행렬을 만드는 데 지나치게 오래 걸리면 계산 순서를 다시 확인할 대상으로 남긴다.